Anneaux

[fabulous62]

bonjour à tous, voila je suis entrain faire un exercice ou je bloque sur des choses je donne l'enoncé et ce que j'ai fait
si vous pouviez regarder et me dire ce qui va et ce qui va pas ce serait very simpa

soit k un corps commutatif et R= k[X,Y]
a. montrer que l'lément Y²-X est irréductible dans R.

Y²-X appartient à R[X,Y]. Posons A=R[X] qui est bien principal
R[X,Y]= A[Y] qui appartient à Y²-X donc x terme independant
de plus, x divise 0 mais ne divise pas 1 et x² ne divise pas x
d'ou d'aprés eisenstein il existe un p qui appartient à A
Donc p=x et x elt irreductible de A

b.on considere l'anneau S= R / (Y²-X). on note x = X +(Y²-X) et y= Y+(Y²-X)
montrer que tt élt de S s'ecrit de maniere unique sous la forme p0(x) +p1(x)y.
montrer ensuite que le sous anneau de S engendré par k et x est isomorphe à un anneau de polynomes en une varaible sur k.

on voit que d'aprés les relations x et y qye x=y²
D'ou p0(x) + p1(x)y + p2(x)y²+.... = p0(x)+p1(x)y +p2(x)x+...
donc à partir de "p2" tous les termes dependent de x
d'ou l'ecriture de maniere unique.

S= R/ Y²-X Inclus dans k[X] qui est inclus ds k[x]
donc S isomorphe à k[x]/y²-x

c.en utilisant b, montrer que l'anneau S est intègre

[ p0(x)+p1(x)y][p0'(x)+p1'(x)y]=0
[p0(x)p0'(x)+p0(x)p1'(x)y+p1(x)p0'(x)y+p1(x)p1'(x)y²]=0
y[p0(x)p1'(x)+p1(x)p0'(x)] + [p0(x)p0'(x)+ xp1(x)p1'(x)]=0

on suppose p0'different de 0
ona alors p0 = -x p1p1' / p0' donc quand on remplace ds le 1er terme on a:
xp1p1'²= p1p0'² d'ou p0'²=xp1'²

de mm si on suppose p0 different de 0 on obtient p0²=xp1²
on a donc : 2 rac(x)yp1p1'+xp1p1'+rac(x)p1p1' =0
soit: rac(x) p1p1'[2y+rac(x)+1]=0

donc rac(x)p1p1'=0 => p0p1'=0 et p0'p1=0 et p0+p1'+p1+p0'=0 cqfd.

merci de me dire ce que vous en pensez !!!

[abcd22]

Bonjour,

soit k un corps commutatif et R= k[X,Y]
a. montrer que l'lément Y²-X est irréductible dans R.

Y²-X appartient à R[X,Y]. Posons A=R[X] qui est bien principal
R[X,Y]= A[Y] qui appartient à Y²-X donc x terme independant
de plus, x divise 0 mais ne divise pas 1 et x² ne divise pas x
d'ou d'aprés eisenstein il existe un p qui appartient à A
Donc p=x et x elt irreductible de A

Il y a de l'idée, mais tu fais trop compliqué (et la rédaction n'est pas très claire) : on considère Y² - X comme un élément de A[Y], pour qu'il soit factorisable, il faudrait que X admette une racine carrée dans A, ce n'est pas le cas ici donc il est irréductible.

on voit que d'aprés les relations x et y qye x=y²
D'ou p0(x) + p1(x)y + p2(x)y²+.... = p0(x)+p1(x)y +p2(x)x+...
donc à partir de "p2" tous les termes dependent de x
d'ou l'ecriture de maniere unique.

Il faut aller plus loin que le degré 2 pour voir ce qu'il se passe : y² = x, y³ = xy, y^4 = x², y^5 = x²y...
Et il faut aussi démontrer l'unicité explicitement : on suppose p0(x) + p1(x) y = p'0(x) + p'1(x) y, montrer que p0 = p'0 et p1 = p'1.

S= R/ Y²-X Inclus dans k[X] qui est inclus ds k[x]
donc S isomorphe à k[x]/y²-x

Je ne vois pas d'où viennent ces inclusions...
La question c'est « montrer ensuite que le sous anneau de S engendré par k et x est isomorphe à un anneau de polynomes en une varaible sur k ». Autrement dit, il s'agit de montrer que l'application de k[X] dans S, qui à P associe P(x) est injective.

c.en utilisant b, montrer que l'anneau S est intègre

Je ne vois pas comment on est censé utiliser le b pour cette question : d'habitude si on a un anneau A et un idéal principal I = (P) de A engendré par un élément irréductible, pour montrer que A/I est intègre, on prend deux éléments a et b de A/I dont le produit est nul, on les remonte dans A et on montre qu'un des deux est forcément dans I sinon ça contredirait l'irréductibilité de P. Le résultat de la question b n'a rien à voir avec l'irréductibilité de Y² - X, il vient juste du fait que Y² - X est de degré 2 en Y.

[fabulous62]

je te remercie bcp d'avoir consacré un peu de temps pour "corriger " ce que j'avais essayé de faire!!!
je vais voir si j'arrive à mieux avancer!
ms si tu px me preparer une jolie redaction , j'en serai ravi!!(si tu as un peu de temps bien sur)
sur ceux bonne soirée et merci encore

[ThSQ]

Pour l'irréductibilité ça me parait encore plus simple de raisonner dans k[X,Y]=K[Y][X] : on a un polynôme unitaire de degré 1 en X.

Pour l'intégrité c'est vrai que le raisonnement habituel est irréductible => idéal premier => intègre mais bon ici on a un anneau isomorphe à k[X], réputé pour être intègre !

[abcd22]

Pour l'intégrité c'est vrai que le raisonnement habituel est irréductible => idéal premier => intègre mais bon ici on a un anneau isomorphe à k[X], réputé pour être intègre !

Non, c'est k[x] (sous-anneau de S) qui est isomorphe à k[X], S = k[x] + yk[x]. Il est impossible de démontrer l'intégrité de S sans utiliser l'irréductibilité de Y² - X d'une façon ou d'une autre, car si on prend un anneau A quelconque et un élément a non irréductible, l'anneau A/(a) n'est pas intègre. Et comme je l'ai dit, la question b n'utilise pas du tout l'irréductibilité de Y² - X, le résultat obtenu est encore vrai avec Y² - X² = (Y - X)(Y + X).

[yos]

Pour l'intégrité c'est vrai que le raisonnement habituel est irréductible => idéal premier => intègre mais bon ici on a un anneau isomorphe à k[X], réputé pour être intègre !

C'est le contraire : idéal (a) premier => élément a irréductible.
Ici la réciproque (celle que tu dis) doit être vraie à cause de la factorialité de R.

[ThSQ]

C'est le contraire

On travaille avec des anneaux de polynômes sur des corps ici. C'était un raccourcis que tu prends hors contexte.

[yos]

En tout cas ça marche non? Anneau/idéal premier=anneau intègre.
Il faut utiliser la question a et pas la b. C'est peut-être une erreur d'énoncé.

[fabulous62]

b. unicité: p0 + p1 y = p0' + p1'y
d'ou p0 -p0' = y (p1' - p1)

y non nul et p0 different de p1 d'ou : p0= p0' et p1= p1'

ai-je bon ?

merci en ce qui concerne vos aides concernant la question c je n'arrive pas à les assimiler à l'exercice si vous pourriez m'aider davantage?

Merci encore

[fabulous62]

pr montrer que le ss anneau anneau de S engendré par k et x est isomorphe à un anneau de polynomes en une variable sur k c'est à dire montrer que l'application de k[x]-> S qui à p associe p(x) est injective

g fé comme cela avec aucune certitude:
k[x] + yk[x] = k[x'] + y'k[x']
=> (y+1)k[x] = (y'+1)k[x'] d'ou x=x' et y=y'

????

[abcd22]

b. unicité: p0 + p1 y = p0' + p1'y
d'ou p0 -p0' = y (p1' - p1)

y non nul et p0 different de p1 d'ou : p0= p0' et p1= p1'

ai-je bon ?

Pourquoi on aurait p0 différent de p1 ?
On a p0 - p'0 + y(p1 - p'1) = 0 dans S, qu'est-ce que ça signifie si on remonte dans k[X,Y] ?

merci en ce qui concerne vos aides concernant la question c je n'arrive pas à les assimiler à l'exercice si vous pourriez m'aider davantage?

Il faut utiliser la question a et pas la b.

[abcd22]

pr montrer que le ss anneau anneau de S engendré par k et x est isomorphe à un anneau de polynomes en une variable sur k c'est à dire montrer que l'application de k[x]-> S qui à p associe p(x) est injective

Attention à ne pas confondre k[X] et k[x] :
-- k[X] c'est l'anneau des polynômes à une indéterminée sur k, qu'on connaît bien;
-- k[x] c'est le plus petit sous-anneau de S qui contient k et x. C'est l'image du morphisme . Ici k[x] est isomorphe à k[X], donc (une fois qu'on a montré l'isomorphisme) on peut les identifier, mais ce n'est pas évident a priori. Si je prends , (le plus petit sous-anneau de R qui contient Q et racine de 2) n'est pas isomorphe à , le morphisme a pour noyau l'idéal engendré par X² - 2.

L'injectivité de ici est une conséquence de l'unicité de la décomposition qu'on montre juste avant : si P(x) = 0 dans S, on a deux décompositions de 0 : 0 = 0 + 0 y, et 0 = P(x) + 0 y, par unicité ces deux écritures sont identiques et on a P = 0.

[fabulous62]

Ds k[x,y] ben on peut diectement dire que po=po' et p1=p1' ??

[fabulous62]

tout est entrain de s'embrouiller ds ma tête snif
le fait d'utiliser l'unicité pr montrer l'iso à l'aide des 2 decompositions en 0 suffit-il??

pr demontrer qu'il est integre on peut alors prendre p0+p1y et p0'+p1'y qui appartiennent à k[x] et faire comme j'avais fait o debut nan ?

[abcd22]

Ds k[x,y] ben on peut diectement dire que po=po' et p1=p1' ??

Pourquoi ? (J'ai dit d'où ça venait dans un message précédent...)

[abcd22]

pr demontrer qu'il est integre on peut alors prendre p0+p1y et p0'+p1'y qui appartiennent à k[x] et faire comme j'avais fait o debut nan ?

On utilise la question a et pas la b donc on n'utilise pas la décomposition des éléments de S sous la forme p0 + p1y (j'ai aussi dit comment on faisait dans un message précédent).

[fabulous62]

ben oui g tout ecri ce que tu m'avais dit ms tu m'expliques comment faire et je n'arrive pa à appliquer tanpis je laisse tomber je sui entrain de m'enerver sur ma feuille depuis hier
merci de ton aide , trés simpathique de ta part mais je trouve cet exo trop compliké g demandé une correction o prof il m'a rep qu'il avait pas le tps j'ai essayé de me debrouillé mais je suis tjs o meme point
ciao et bon we ;-)

[fabulous62]

pr l'intégrité une lumiere est peut etre apparu
en appliquant tes conseils je suis arrivé à :

ici on a un anneau R et un ideal ppal I=(p) de R engendré par un elt irreductible (Y²-X)
soit x,y appartient à R/(p)
avec x=x +Y²-X et y=y + Y²-X
(x + Y²-X)(y+Y²-X)=0
d'aprés k[x] iso à k[X]
on a (x+y²-x)(y+y²-x)=0
d'ou (x+x-x)(y+x-x)=0
soit xy=0 donc x=0 ou y=0 donc x appt à I ou y app à I sinon P ne serait plus irreductible

[abcd22]

On n'a besoin que de l'irréductibilité de Y² - X pour montrer que le quotient est intègre. On prend a et b quelconques dans S tels que ab = 0. On remonte dans k[X,Y] : soient c et d dans k[X,Y] tels que l'image de c dans S est a et l'image de d dans S est b.
ab = 0 dans S est équivalent à cd = (Y² - X)Q(X,Y) (dans k[X,Y]). Montrer que si on suppose a non nul, c'est-à-dire b non multiple de (Y² - X), alors b est nul, c'est-à-dire d est multiple de (Y² - X).

Pour la question b il faut aussi prendre un élément de k[X,Y] dont l'image dans S est (p0(x) - p0'(x)) + y (p1(x) - p1'(x)) = 0 et traduire ce que signifie que l'image de cet élément dans S est nulle.

[Maxmau]

Bj

Je ne comprends pas la question c/
L’exercice classique est de montrer que l’anneau S=k[X,Y]/ est isomorphe à k[Z] et qu’ainsi S est principal.
Pour cela on considère :
;) : S=k[X,Y]/ --------- > k[Z] tq ;)(p) = P(Z²,Z)
(p = classe de P modulo (Y²-X))