Anneaux

[Mulan]

Bonjour,

J'essaye de montrer le théoreme chinois pour n = 2 :

Soit A un anneau principal.
Montrer que si a1,a2 sont dans A et sont des éléments deux à deux premiers entre eux alors on a un isomorphisme d'anneaux
A/a1 a2A = A/a1A * A/a2A

Alors
1) J'ai définie f qui va de A -> A
Et qui a x associe le couple (x classe modulo a1, x classe modulo a2)


J'ai montrer que f est un morphisme de groupe additifs.
J'ai montrer que f est un morphisme d'anneaux.

Je trouve que Ker f est différent de 0 donc f n'est pas un morphisme injectif.

2) Je cherche un morphisme g qui lui sera injectif et qui aura la même image que f.

Je pose f(x1) = f(x2) ie f(x1-x2)=(0 modulo a1, 0 modulo a2)

x1 - x2 est un multiple de p = ppcm(a1,a2)
Donc x1 mod p = x2 mod p

Soit g : A/pA -> A/a1A * A/a2A
x mod p -> ( x mod a1, x mod a2)

on g(x mod p ) = f(x)
Je montrer que g est un morphisme d'anneaux.
Puis j'ai montrer que ker g = 0

Est ce la bonne méthode ou y a t il plus simple .?

[Maxmau]

Bonjour,

J'essaye de montrer le théoreme chinois pour n = 2 :

Soit A un anneau principal.
Montrer que si a1,a2 sont dans A et sont des éléments deux à deux premiers entre eux alors on a un isomorphisme d'anneaux
A/a1 a2A = A/a1A * A/a2A

Alors
1) J'ai définie f qui va de A -> A
Et qui a x associe le couple (x classe modulo a1, x classe modulo a2)


J'ai montrer que f est un morphisme de groupe additifs.
J'ai montrer que f est un morphisme d'anneaux.

Je trouve que Ker f est différent de 0 donc f n'est pas un morphisme injectif.

J'ai défini f qui va de A ->A/a1A * A/a2A
qui a x associe le couple (x classe modulo a1, x classe modulo a2)

Montre que ce morphisme est surjectif et que son noyau est l'idéal des multiples de a1a2
Le résultat souhaité est alors la conséquence d'un th d'isomorphisme classique

[Mulan]

Merci mais en utilisant ma méthode est ce que ca marche ?

[Maxmau]

Merci mais en utilisant ma méthode est ce que ca marche ?

ca revient à montrer l'isomorphisme dont je parle à condition de compléter en montrant la surjectivité et aussi p =a1a2