Anneaux

[Mulan]

Bonjour, pouvez vous m'indiquer la méthode pour mes questions.

1) Soit P = X^3+X+4 et Q = X²+X+2
Calculer le pgcd et le ppcm de P et Q.

2) Trouver les couples (U,V) dans R[X]² vérifiant
U(X^3 + X + 4 ) + V( X²+X+2) = X

3) Résoudre dans Z/91Z
a) Déterminer les diviseurs de 0 de l'anneau A = Z/91Z
b) Résoudre dans A : x² = cl(1) et x² + cl(2)x - cl(3) = cl(0)

Alors

1) Pour le pgcd j'utilise l'agorithme d'euclide

X^3 + X + 4 = (X²+X+2)(X-1)+6
X-1 = 6 *1/6 (X-1) + 0
d'où le pgcd est 1/6(X-1)

Par contre je ne sais pas comment faire pour le ppcm.

2) Je bloque car c'est égal à X et pas à 0 du coup je ne sais pas comment faire.

3) Z/91Z est isomorphe à Z/7Z x Z/13Z

Mais du coup faut il que je resolve un coup dans Z/7Z puis dans Z/13Z ?

Merci par avance

[arnaud32]

fais la division euclidienne de P par Q

[Mulan]

D'accord, cela donne

X^3 + X + 4 = (X²+X+2)(X-1) + 6

[arnaud32]

un diviseur commun de P et Q divise donc quoi?

[Mulan]

il divise P et Q ainsi que tous les multiples de P et Q

[arnaud32]

s'il divise P et Q il va aussi diviser le reste de ta division euclidienne ...

[Mulan]

Donc un diviseur commun divise 6 mais quel est le lien avec le ppcm ?

[arnaud32]

donc ton pgcd que vaut il?

[Mulan]

C'est 6

Merci

Et pour le ppcm je ne trouve pas merci

[arnaud32]

P et Q sont donc premiers entre eux ....

[Mulan]

donc leur pgcd vaut 1 mais je ne c'est pas ce que cela signifie pour le ppcm

[arnaud32]

C'est le produit puisqu'ils sont premiers entre eux

[Mulan]

ah oui d'accord,

Pour la 2) J'ai une idée si cela serait égale à 1 en utilisant le lemme de Bézout et de Gauss. Mais ce x je ne voit pas comment le traiter

Merci

[arnaud32]

Repart de ta division euclidienne et multiplie parX les deux membres

[Mulan]

D'accord,

Il suffit de faire comme ca alors

Et pour la 3) Svp

[arnaud32]

c'est quoi un diviseur de 0?

[Mulan]

pour tout x différent de 0, il existe y différent de 0 tel que xy = 0

Les diviseurs de 0 sont pour les couples (1,13), (7,1), (7,13)

[arnaud32]

presque un diviseur de 0 est un element x de Z/91Z tel que il existe y dans Z/91Z verifiant x*y=0 dans Z/91Z
tu vas dons avoir x=0 mod 7 ou x= 0 mod 13

[Mulan]

D'accord et pour resoudre les équation comment peut on faire vu que l'on a pas directement Z/91Z avec 91 qui n'est pas premier donc on dit qu'il est isomorphe à Z/13Z * Z/7Z mais je ne sais pas comment resoudre du coup.

Merci beaucoup !!!!

[arnaud32]

x² = 1 [91]
x² + 2x - 3 = 0 [91] donc 2x - 2 = 0 [91] soit 2(x-1)=0[91] ...