Anneaux

[Anonyme]

Bonjour et bonne année

(A,+,*) un anneau tel que pour tout x de A, x^3=x, on veut montrer que A est commutatif
A1={xA;2x=0} et A2={xA;3x=0}
a) Montrer que A1 et A2 sont des anneaux mais avec des unités a priori différentes de 1A que l'on notera 1A1 et 1A2
b) Montrer que A=A1+A2
Montrer que pour tous x A1 et yA2, on a xy=yx=0
c) Montrer que tout x de A1 vérifie x²=x et en déduire que A1 commutatif
d)Montrer que pour tout (u,v)A2², (uv=0) implique (vu=0)
e) xA2. Démontrer l'égalité 1A2=-(x²-1A2)-(x²-x)-(x²+x) et en déduire que tout y de A2 peut s'écrire y=y1+y2+y3 avec : xy1=(x+1A2)y2=(x-1A2)y3=0
f) Montrer que A2 commutatif
g) conclure

Milles mercis d'avance

[Alpha]

J'ai supprimé les messages qui n'avaient rien à faire là et auxquels tu fais allusion, Nightmare.

A+

[Nightmare]

Supprime le mien aussi peut être avec non ? parce que là il fait un peu "tâche" lol :ptdr: