Algebre: action fidele

[oumou]

Bonjours ,

Soit G un groupe et X un ensemble .on note S(x) l`ensemble des permutation de X .Soit
H : G [smb]fleche2[/smb] S(x) un morphisme de groupe
montre que g.x = H(g)(x) definit une action du groupe D sur X
on considere l`action de G sur lui meme par translation a gauche defini par H(g)(x) =gx
montre que cette action est fidele

merci d`avance

[zygomatique]

salut

c'est de l'application directe du cours : il suffit de vérifier les propriétés d'une action de groupe ...

[oumou]

oui mais je n arrive pas a faire , guide moi svp

[zygomatique]

qu'est-ce qu'une action de groupe ?

[oumou]

on peut définir une action (ou opération) de G sur un ensemble E par une application :
GxE versE
(g,x) vers g.x
vérifiant les propriétés suivantes
pour tout x appartenant E e.x = x
pourt g,g` appartenant G et pour tout x appartenant E g`.(g.x) = (g`.g).x
g.x = H(g)(x)

alors g`.( g.x ) = g`.(H(g)(x)) = H(g`) ( H(g) (x) ) = S(g`)S(g) (x) =S(g`g) (x) =H(g`g)(x) = (g`g)(x)
e.x = S (e) (x) =x
nespas?

[zygomatique]

donc il suffit de vérifier tout cela

si H : G --> S(X) est un morphisme de groupe alors H(e) = ... ?

[oumou]

H(e) = e et donc x.e = x