Action sur un groupe différentiel.

[Doraki]

Bon y'a environ 20 posts que j'ai pas lus mais

Or la catégorie des modules différentiels est donné par Z,N-mod. ce sont des modules qui sont munies d'une action de (N,+) et d'une structure de Z-module.

Donc je me demandais s'il existait un A tel que cette catégorie puisse s'écrire A-mod.

Si tu demandes à ce que l'action de (N,+) soit faite avec des morphismes de groupes (ce que tu as l'air de supposer), alors les actions de (N,+) et de (Z,*) commutent, et alors tes objets m'ont tout l'air d'être des Z[d]-modules.

Avec le produit sur Z[d] qu'on connaît bien avec d^a * d^b = d^(a+b) vu qu'on doit avoir (d^a * d^b) . g = d^a . (d^b . g) = d^a . (d^b(g)) = d^a(d^b(g)) = d^(a+b)(g).

Les deux monoïdes (N,+) et (Z,*) s'injectent convenablement dans (Z[d],*)
L'action de Z[d] sur les Z[d]-modules relève celles de (N,+) et (Z,*).

Mais (N,+) et (Z,*) n'ont pas à agir sur Z[d] hein (enfin à part par multiplication).
La multiplication par le 1 de (N,+) est la multiplication (je devrais dire composition) par d.
Et la multiplication par un n de (Z,*) reste la multiplication par ce n.
(La multiplication est Z-linéaire)

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Quand tu dis que "n.(x*y) = (n.x)*y + x*(n.y)" est la relation qui lie l'action de N à un produit Z-linéaire,
ça veut dire quoi de relier une action (qui est une opération externe) à un produit (qui est une opération interne) ? à part en disant que 1.x = d*x ?
d'où diable est-ce que tu obtiens cette formule ?
est-ce que c'est un pur hasard si elle ressemble à (fg)' = f'g + fg' ?

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Ton post #53 est juste incompréhensible.
De quelle action/morphisme de (N,+) sur/dans (Z,*) parles-tu et pourquoi ça devrait être nul ?

[Finrod]

Pour Z[d] oui c'est une autre façon d'écrire la réponse.

C'est un anneau.

Z[d]-mod ne redonne pas la catégorie que je veux.

Le seul truc qui manque est qu'il faudrait que Z[d] soit un anneau différentiel. i.e. que sa multiplication soit N-linéaire... ce qui ne peut être le cas car cette multiplication est en fait donné par l'action de N.


Pour l'action et le produit, 1.x = d(x) en fait oui.

La formule est la formule de Leibniz pour les différentielle que j'ai écrit avec la syntaxe "action de N" mais qui reste la formule de leibniz.

On peut vérifier que l'on a équivalence entre le fait que la formule de Leibniz soit valable et le fait que la multiplication soit N-linéaire, si définie à partir du produit tensoriel sur Z.

Pour le post 53, je suppose que tu parle du fait que toute action de (N,+) sur (Z,*) est nulle.
En fait, Z muni d'une telle action est toujours un anneau différentiel. La différentielle est donnée par l'action de 1. La formule de Leibniz doit donc s'appliquer et par Z-linéarité de la différentielle on arrive vite à une action nulle.

(En fait cela vient en grande partie du fait que les différentielles sont définies Z linéaires.)

[Doraki]

Ah tiens maintenant tu parles d'anneau différentiel ?

Un groupe différentiel c'est un groupe muni d'un endomorphisme de dérivation d, et on peut voir ces objets comme des Z[d]-modules.
On doit avoir d(x+y) = d(x)+d(y), et donc pour k dans Z, d(k.x) = k.d(x)

(Z[d] n'a aucune raison de devoir être un anneau différentiel et heureusement)

Maintenant un anneau différentiel j'imagine que c'est un anneau, toujours muni d'un endomorphisme de groupes d, mais qui doit en plus vérifier
d(x*y) = d(x)*y + x*d(y) (formule de Leibniz).

Tu aimerais bien que ces objets soient des A-algèbres pour un certain A qui contiendrait Z[d], de la même manière que les groupes différentiels sont les Z[d]-modules.

Mais alors on aurait que d.(x*y) = x*(d.y) = (d.x)*y, ce qui contredit la formule de Leibniz.
Donc les anneaux différentiels ne sont pas des A-algèbres.

Par exemple, dans un anneau différentiel A,
d(1) = d(1*1) = d(1)*1 + 1*d(1) = 2*d(1) donc d(1) = 0.

Si d doit en plus être B-linéaire pour un certain anneau B inclus dans A,
alors les "constantes" sont dans le noyau de l'endomorphisme de groupes d.
Et comme d est un morphisme de groupes, d est toujours au moins "Z"-linéaire.

[Finrod]

Je pense que tu as bien saisi la question.

J'ai finalement réussi à faire cette même preuve cet aprèm mais dans le cas général d'une catégorie monoidale (pour Z, le produit tensoriel est , d'unité Z) vérifiant certaines hypothèses et de l'action d'un monoïde pas forcément N.

A priori le résultat est vrai aussi pour la catégorie qui correspond à une généralisation des anneaux différentiels qui n'est donc pas engendrée par un "anneau différentiel".

Mais c'est un peu fastidieux de passer au langage catégorique.


Et oui, il vaux mieux parler d'anneau différentiels à ce stade. C'est là que tout se joue.

Mais alors on aurait que d.(x*y) = x*(d.y) = (d.x)*y, ce qui contredit la formule de Leibniz.
Donc les anneaux différentiels ne sont pas des A-algèbres.

En relisant, je trouve l'argument louche ici.

hum non ok, c'est juste rapide.

est N-linéaire par construction ce qui donne l'action sur l'image de Z[d] au moins et sur cette image, on a en effet d.(x*y) = x*(d.y) = (d.x)*y donc pas de Leibniz.