Action sur un groupe différentiel.

[Ben314]

euh depuis quand la multiplication est une action de (Z,+) et pas de (Z,*) ?
je veux bien mais alors ça veut dire que pour tout g, 0.g = g = e.

Oui, je vient juste de réagir que (n,g)->ng est une action du monoïde (Z,x) et pas du groupe (Z,+).
Désolé...

[Ben314]

Je tente un résumé :
{\bb N},+)\rightarrow (H,+)"/> et {\bb Z},\times)\rightarrow (H,+)"/> morphismes (de monoïdes).
agit sur et on a ;

Mais je vois toujours pas où ça "coince"...

[Finrod]

OK , je viens de voir qu'en éditant, j'avais sans doute oublié un détail. ça coince si on veut que H soit une Z-algèbre i.e; soit muni d'une multiplication Z-linéaire.

Par ex le Z-module libre engendré par N est bien muni d'une loi + et d'une loi . par contre cette loi . n'est pas Z-linéaire donc ce n'est pas un anneau...

et il donne un contre exemple dans le cas ou la multiplication n'est pas Z-linéaire.

[Ben314]

Je comprend (encore) pas trop.
Le Z-module libre engendré par un ensemble X quelconque est bien entendu un Z-module et donc un groupe commutatif.
Si X a une structure de monoïde cela munit "canoniquement" d'une structure multiplicative mais elle est bien Z-linéaire...

(dans le cas X=N, et le produit des polynômes est bien linéaire)

P.S. c'est le fait que le produit soit bi-linéaire qui est génant ?

[Doraki]

Pour que H soit un Z-module faudrait déjà que ce soit un groupe et pas un monoïde.

Déjà pour donner un inverse au 0 du monoïde (Z,*) qu'il est sensé contenir (qui agit de manière totalement pas inversible), va y avoir des dégâts.

[Finrod]

Dans ton cas, il n'y a pas d'injection de N dans Z[X] pour cette action. La seule solution serait de prendre

Mais cela pose problème car on montre que (1) n.X²=n.X* X= (n.X)* X+ (n.X)*X = 2 (n.X) =

or cela est égal à donc c'est absurde donc l'injection de N dans Z[X] est triviale.

La formule (1) est universelle, on retrouve la formule pour les dérivé de produit. Cela vient du produit tensoriel.

En fait j'ai répondu à la question là.

Tu vois comment prouver (1) ?

EDIT : La loi . dont je parle qui est N linéaire et non Z linéaire est la même en fait. La preuve ci-dessus prouve l'incompatibilité donc soit la multiplication est Z-linéaire et l'injection de N est triviale, soit l'injection de N n'est pas triviale et la multiplication n'est pas Z-linéaire.

[Finrod]

Pour que H soit un Z-module faudrait déjà que ce soit un groupe et pas un monoïde.

J'ai dit "groupe (ou monoide)" dans l'énoncé. Comme je n'avais pas vérifier le cas "monoïde", je m'étais dit, "on sait jamais".

[Doraki]

Dans ton cas, il n'y a pas d'injection de N dans Z[X] pour cette action.

Quelle action ? on veut autre chose qu'un morphisme de monoïde de (N,+) dans H ?

[Finrod]

Quelle action ? on veut autre chose qu'un morphisme de monoïde de N dans H ?

Non, non. ma phrase est bizarre. Je voulais dire que dans ce cas là, le morphisme de monoide de N dans Z[X] est nul. Donc pas de morphisme non trivial.

J'ai dit "pour cette action" , c'est impropre , j'aurais mieux fait de dire "dans ce cas".

Ce qui est troublant c'est que la multiplication dans l'exemple de Z[X] ne change pas en apparence mais son sens est en fait différent.

Si c'est Z-linéaire, c'est les polynômes.

Si c'est pas Z-linéaire, il s'agit en fait du module libre engendré par X et toutes ses dérivées (l'action de N). Il n'y a pas de puissances au sens intuitif du terme.

[Doraki]

Y'a plein de morphismes de monoïdes de (N,+) dans le monoïde (Z[X],+).
Suffit de prendre un polynôme P et on a un morphisme n -> nP.

Pourquoi ils vont pas ?

[Ben314]

(1) n.X²=n.X* X= (n.X)* X+ (n.X)*X = 2 (n.X) =
Tu vois comment prouver (1) ?

Ben...
Non seulement je vois pas comment montrer (1), mais je vois vraiment pos d'où tu sort que n.X* X= (n.X)* X+ (n.X)*X... (ni quel rapport il y a avec d'ailleurs)

Pour moi, en reprenant X un ensemble quelconque, une base de est et l'injection de X dans est évidement .
Si X est un monoïde, la multiplication sur est alors l'unique application bilinéaire telle que, sur la base, on ait où le point désigne l'opération de X.

Je ne vois pas comment, partant de cela, tu obtient tes relations...

[Finrod]

Je vais réécrire l'énoncé, là où on en est : (c'est un peu confus jusque là)

Soit H un groupe commutatif muni d'un produit (N,+)-linéaire (on parle de N-algèbre aussi)

On considère deux morphismes de monoïdes .

Alors Si le morphisme f est non trivial, le produit de H ne peut pas être Z-linéaire.

Si le produit de H est Z linéaire, alors f est trivial.

[Finrod]

Ben...
Non seulement je vois pas comment montrer (1), mais je vois vraiment pos d'où tu sort que n.X* X= (n.X)* X+ (n.X)*X... (ni quel rapport il y a avec d'ailleurs)

Pour moi, en reprenant X un ensemble quelconque, une base de est et l'injection de X dans est évidement .
Si X est un monoïde, la multiplication sur est alors l'unique application bilinéaire telle que, sur la base, on ait où le point désigne l'opération de X.

Je ne vois pas comment, partant de cela, tu obtient tes relations...

et le morphsime de N dans Z[X] c'est quoi pour toi ?

Si c'est le morphisme qui à n associe n , ça va vite poser problème.

[Finrod]

Y'a plein de morphismes de monoïdes de (N,+) dans le monoïde (Z[X],+).
Suffit de prendre un polynôme P et on a un morphisme n -> nP.

Pourquoi ils vont pas ?

Parceque cela est censé définir une action de (N,+) soit n.n'.P = (n.n').P=(n+n')P. mais c'est aussi égal avec ton exemple à n.n'P=n*n'P .

[Ben314]

Bon, par définition de , le morphisme de N dans Z[X] est (on associe les éléments de N à la base "cannonique" de ) et la structure de monoïde de N permet de définir un produit sur en posant (définition du produit sur la base) (perso, c'est la définition que j'ai toujours donné pour les polynômes formels sur un anneau quelconque).

Bon, en résumé, en reprenant tes notations, pourquoi


ne répondent-ils pas à ta question ?

Ensuite, si le problème c'est l'action sur l'autre groupe (G,+), il parrait assez clair que, si est un élément de et , on va poser :

et je vois pas où ca coince...

[Finrod]

Si, c'est ce que je dis juste avant, ils répondent à la question uniquement si la multiplication n'est pas Z-linéaire.

Je vais écrire la preuve de (1), pour conclure un peu le sujet.

[Doraki]

Ben à la base c'était les éléments de H qui devaient être des actions sur G.
L'action de l'image de n dans l'injection de (N,+) dans H, a toujours été g -> d^(n)(g), et n.n'.g = (n+n').g

Alors que là j'ai l'impression que tu veux à la fois que (N,+) s'injecte dans H et que H agisse sur lui-même.

Mais bon je vais lire ton nouvel énoncé où G a disparu et où H est un groupe qui doit contenir le monoïde (Z,*) (aussi connu sous la forme {0} u {-1,1} * N^N).

Soit donc g : (Z,*) -> H et soit y l'inverse de g(0) dans H.
Alors pour tout x de Z, e = yg(0) = yg(0*x) = yg(0)f(x) = eg(x) = g(x).
Donc le morphisme g est trivial.

Après, faut que je devine ce que c'est qu'un produit N-linéaire.

[Finrod]

Soit H un anneau (groupe commutatif + multiplication Z-linéaire) tel que




ps : pour H = Z[X], f envoit n sur X^{n+1} car 0 s'envoit sur X.

Le morphisme f induit une action de N sur H. Montrons que, on a , . (et donc contradiction)

La multiplication est donné par le morphisme par conséquent n.x² = n. (x\otimes x) en considérant l'action de N sur .

Il existe une seule action (à isomorphisme près) sur tel que les deux morphismes "d'inclusion" de H dans soit N-linéaire.

Là faudrait faire un diagramme, je vais expliquer sans.

Les deux morphismes N-linéaires de H dans induisent deux morphismes de H dans la somme directe de avec lui-même. Le morphisme naturel de la somme directe dans est l'addition.

On obtient donc que est image par addition de

Soit .

[Doraki]

Soit H un anneau (groupe commutatif + multiplication Z-linéaire) tel que

le . c'est un + ou un * ?

[Finrod]

Ben à la base c'était les éléments de H qui devaient être des actions sur G.
L'action de l'image de n dans l'injection de (N,+) dans H, a toujours été g -> d^(n)(g), et n.n'.g = (n+n').g

Alors que là j'ai l'impression que tu veux à la fois que (N,+) s'injecte dans H et que H agisse sur lui-même.

Mais bon je vais lire ton nouvel énoncé où G a disparu et où H est un groupe qui doit contenir le monoïde (Z,*) (aussi connu sous la forme {0} u {-1,1} * N^N).

Soit donc g : (Z,*) -> H et soit y l'inverse de f(0) dans H.
Alors pour tout x de Z, e = yg(0) = yg(0*x) = yg(0)f(x) = eg(x) = g(x).
Donc le morphisme g est trivial.

Après, faut que je devine ce que c'est qu'un produit N-linéaire.

Merci pour ton assiduité.

J'avais besoin de comprendre un peu mieux ce qui se passait pour mes travaux de recherche.
Un produit N-linéaire, c'est un truc tel que n.(x*y) = (n.x)*y pour l'action de (N,+)

donc par ex si l'action de (N,+) est une différentielle, il s'agit d'un produit tel que d(x*y) = dx * y = y * dx (ça arrive pas souvent, je te l'accorde)