Action sur un groupe différentiel.

[Finrod]

le . c'est un + ou un * ?

On a H(+,.) et on veut des morphismes de monoides pour le .

Sinon je trouve que ta question à une certaine portée métaphysique, en particulier sortie du contexte.

[Ben314]

... f envoit n sur X^{n+1} car 0 s'envoit sur X.

Déjà, là je vois pas de quelle hypothèse tu part pour affirmer ça !!!

[Ben314]

La multiplication est donné par le morphisme

Je comprend pas non plus : des morphisme il y en a des ribambelles....

[Finrod]

Ben une action c'est un morphisme de monoide, ici de (N,+) dans (End(Z[X]),o)

donc le neutre s'envoi sur le neutre soit 0 s'envoi sur l'identité.

[Finrod]

Je comprend pas non plus : des morphisme il y en a des ribambelles....

Pardon oui, je voulais dire "par le morphisme multiplication" (donné par les hypothèses).

faut que je travaille, niveau pédagogie. Si j'oublie des mots à chaque fois...

[Ben314]

Ben une action c'est un morphisme de monoide, ici de (N,+) dans (End(Z[X]),o)

Tient, c'est bizare, il me semblait bien que l'élément neutre pour la multiplication des polynômes, c'était plutôt 1 que X....

[Doraki]

Soit H un anneau (groupe commutatif + multiplication Z-linéaire) tel que

Ces flèches sont-elles des morphismes de monoïdes vers (H,*), ou bien des actions sur H, c'est à dire des morphismes de monoïdes vers (End(H,???),°) ?

[Ben314]

J'ai l'impression que le fond du problème c'est le nombre de structures que tu as sur H...
Pour moi, si le H est Z[X], la structure sur H, c'est le produit et point barre.
Je me demande si tu nous cacherais pas une deuxième structure de derrière les fagots...

[Finrod]

Tient, c'est bizare, il me semblait bien que l'élément neutre pour la multiplication des polynômes, c'était plutôt 1 que X....

Ah oui, n s'emmele les pinceau avec l'acction de N sur Z[X] donnée par n.X=X^{n+1} et le morphsime de N dans Z[X] donné par

Et on retombe sur nos pates parceque l'action de n est donné par

Je te laisse méditer.

[Finrod]

Ces flèches sont-elles des morphismes de monoïdes vers (H,*), ou bien des actions sur H, c'est à dire des morphismes de monoïdes vers (End(H,???),°) ?

Les deux sont toujours liés, cf message juste au dessus.

En se donnant l'un ou l'autre, on retrouve les 2.

[Finrod]

J'ai l'impression que le fond du problème c'est le nombre de structures que tu as sur H...
Pour moi, si le H est Z[X], la structure sur H, c'est le produit et point barre.
Je me demande si tu nous cacherais pas une deuxième structure de derrière les fagots...

Exact, mais la question initiale que je m'étais posé n'était pas si tordue.

En fait j'étudie des catégories de la forme A-mod ou A est par exemple un anneau.

Or la catégorie des modules différentiels est donné par Z,N-mod. ce sont des modules qui sont munies d'une action de (N,+) et d'une structure de Z-module.

Donc je me demandais s'il existait un A tel que cette catégorie puisse s'écrire A-mod.

D'où toutes ces question techniques, ces confusions entre les nombreuses lois et actions qu'il a fallu dépasser.

Pour finalement conclure que A n'existe pas, car il faudrait qu'il soit muni d'une multiplication Z linéaire et d'un morphsime N linéaire de N dans A...

[Ben314]

Bon, je laisse tomber, je comprend pas le début du quart du premier argument et j'entrevois toujours pas le début du pourquoi mon post #35 avec n'est pas solution de ton problème du post #32.

[Finrod]

Dsl !

Les questions m'ont bien aider.

Mais c'est la théorie algébrique la moins intuitive que je connaisse et je galère pas mal.

IL faut penser à l'action de N comme à une différentielle. Ce n'est jamais compatible au produit standard.

Mais uniquement avec certains produits bizarres.

D'ailleurs le produit N-linéaire est nul avec les polynome constant o_o je suis pas au bout de mes surprises.

en effet k*X si c'est N-linéaire est égal à k*f(1) = 0 car l'action de (N,+) est toujours nulle sur (Z,*)...

On voit que l'action de (N,+) est toujours nulle sur Z car le morphisme vérifie que f(n) = f(1)+n-1 et clairement ne définit pas un endomorphisme linéaire de Z.

En particulier 2n.z=f(2n)*z = ce qui nemarche pas avec f(n)=f(1)+n-1

et etc.....

[Doraki]

Ah oui, n s'emmele les pinceau avec l'action de N sur Z[X] donnée par n.X=X^{n+1} et le morphsime de N dans Z[X] donné par

Tu veux dire que généralement le morphisme f : (N,+) -> (H,*) induit une action linéaire sur H en disant que n.h = f(n)*h = (f(1)^n)*h ?
Et pareil pour g : (Z,*) -> (H,*) ?

Ton post #38 dit à la fois que :

n.(x*y) = (n.x)*y + x*(n.y)
n.(x*y) = (n.x)*y = x*(n.y)
1.x = x
1.(x^2) = x^3.

[Finrod]

non pas généralement, ça marche que si on zappe la Z-linéarité et l'intuition algébriste avec. C'est tout le problème de la question.

La seule façon de réintroduire de l'intuition c'est de considérer l'action de (N,+) comme une différentielle.

Auquel cas, comme exemple de module qui a bien une multiplication non Z-linéaire on a

le module libre engendré par X,X',X'' etc... munie de la multiplication qui est en fait une sorte d'action de son espace dual. Si d est la différentielle alors le produit

est donné par

avec juste un petit truc spécial : fait zéro appliqué a un (par symétrie, c'est la dérivé d'une constante)

donc il faut séparer les termes constants en fait pour écrire correctement le produit.

[Finrod]

Et ce module là est isomorphe en tant que module à Z[X] ... seule la multiplication est là pour montrer que le sens mathématique de l'objet est différent.

[Finrod]

Ton post #38 dit à la fois que :

n.(x*y) = (n.x)*y + x*(n.y) <----A
n.(x*y) = (n.x)*y = x*(n.y) <----B
1.x = x
1.(x^2) = x^3.

J'ai du fare une erreur de frappe ou avoir une absence car .

Quant à A et B, A est la relation qui lie l'action de N à un produit Z-linéaire.
B est la relation qui lie l'action de N à un produit N linéaire.

Donc si on a les deux, on arrive vite à une contradiction.

[Finrod]

Bon en tout cas, vous êtes vraiment excellent tous les deux, sans doute meilleur que moi hors de ma spécialité (qui n'est pas l'algèbre linéaire, en tout cas, pas en ce sens)

C'était une discussion très stimulante.

J'y vais pour ce soir (enfin, ce matin, il est minuit passé) mais si tu veux on pourra encore discuter demain (enfin aujourd'hui... même raison) Doraki.

[Finrod]

Je reviens poster un petit truc parce que j'ai dit un truc qui peut paraitre carrément contradictoire.

On pourrait croire que, le produit de X par une constant étant nul on a X=1*X=0 donc le module libre engendré par X et ses dérivés devient nul...

mais non car le produit N linéaire du module libre engendré par X,X'X'' ... est différent de l'action de Z avec laquelle on construit les .

donc pour les constantes, on a deux produits. z_{i}X = 0 pour le produit N-lin et z_{i}.X non nul pour l'action de Z car le module est libre par construction.

Comme tout à l'heure, on avait une relation bizarre entre le produit Z-lin et l'action de N, ici on a une relation bizarre entre le produit N-linéaire et l'action de Z. Enfin bizarre... ça fait zéro, sauf pour les constantes ou z*z'=z.z'=zz' .

(de toute façon on sait qu'il existe ce produit N-linéaire, il faut juste le calculer)

[Finrod]

Finalement le problème dans le Z-module libre engendré par les vient uniquement des constantes pour la Z-linéarité.

Si on les enlève, ou plutôt si on ne les met pas, ça marche. Bon le morphisme d'inclusion de Z dans ce module (z->z.X^{(0)}=z.X) n'est plus N-linéaire, mais ça n'a aucune répercussion sur la question.

Il faut juste faire attention que l'action de ce module libre est induite par celle de N. En particulier agit comme l'identité et cela redonne l'action de Z.

Pour la question de la N-linéarité et de la Z-linéarité du morphisme multiplication, il faut revenir à la définition.
Si la multiplication est définie sur le produit tensoriel au dessus de Z, ce sera Z-linéaire et pas N-linéaire car ce produit tensoriel n'est pas N-linéaire (formule (1) ) .

Et réciproquement en inversant N et Z.

Donc cette question là était juste un de savoir sur quoi était défini la multiplication. Si elle est définie sur les 2 produit tensoriels, elle est Z-linéaire en un certain sens et N-linéaire en un sens différent au sens ou il se formalise différemment.


En conclusion je suis pas beaucoup plus avancé, car même si j'ai une catégorie de la forme A-mod où A est ce module libre, j'ai trois produits tensoriels (au dessu de Z,N et A) et aucun ne parait plus naturel que les autres.