Action de groupe, action fidèle...

[Invaders]

Bonjour !
Voici le problème :
Soit :






lorsque c=0

1 - montrer que l'application définit une action de sur

2 - montrer que cette action :
- n'est pas fidèle, décrire son noyau
- est transitive
- est 2-transitive

3 - montrer que la formule définit une action de sur , déterminer les orbites de cette action

Je suis rendue à la question 2, au calcul du noyau. Je trouve que le noyau est égal à +/- Id.
je voulais savoir si mon résultat était correct.
Et si vous avez des pistes pour les autres questions (2 et 3) je suis preneur !

Merci beaucoup !

[cuati]

Bonjour.
Pour le noyau je confirme ta réponse.
Pour la transitivité tu peux montrer par exemple (quitte à composer par des inverses de matrices par la suite) montrer que pour tout il existe tel que , en discutant les cas ou non. On peut appliquer la même méthode pour la 2-transitivité : montrer par exemple que pour tout il existe tel que et par exemple... mais là encore il faut discuter (couper des cheveux en 4) selon certaines valeurs particulières...

[Collap35]

Bonjour,

J'ai le même exercice à faire, ce qui me pose problème c'est la 2-transitivité. Pour montrer que l'action de SL(2,R) sur RU{infini} est 2-transitive, serait-il équivalent de montrer que l'action de SL(2,R) sur (RU{infini})^2 définie par : A.(x,y)=(A.x , A.y) est transitive ? (en montrant par exemple que l'orbite de (1,1) est égale à (RU{infini})^2)

Merci pour vos réponses ! :)

[Invaders]

Bonjour.
Pour le noyau je confirme ta réponse.
Pour la transitivité tu peux montrer par exemple (quitte à composer par des inverses de matrices par la suite) montrer que pour tout il existe tel que , en discutant les cas ou non.

Merci beaucoup pour votre aide.
Mais je pense avoir un problème car j'aboutis à une contradiction.
Je m'explique, je pars de l'égalité , on distingue donc 2 cas :
cas où , on a , d'où
cas où , on a d'où
Ensuite je me sers du fait que , j'ai donc, ad - bc = ad - da = 1 = 0 !!!!
Je ne sais pas où est mon erreur :s
Merci pour votre aide.

[cuati]

Ne mélange pas les deux cas, la transitivité, ici, c'est : pour tout x il existe A tel que...
Le A n'est donc pas nécessairement le même pour et (il n'y a d'ailleurs aucune raison pour que cela soit le même A). En fait les coefficients de A dépendent de x !

[Invaders]

Ahhhhh ok, je n'avais pas du tout compris ça !

Du coup pour on a avec a=c

et pour on a

d'où





je distingue ensuite tous les différents cas ?

Merci par avance !

[cuati]

Désolé pour le retard (j'ai peu de temps disponible).
Enfin voilà faisons le avec 0 :
Si et alors . Il y a alors une infinité de choix possibles pour b,c,d.
Si alors donc et alors . Il suffit donc de prendre quelconque et . Là encore on a une infinité de choix possibles pour a,b,c,d.

Dans tous les cas, on a montré que pour tout il existe tel que . Soit donc deux éléments et de et soit encore et deux éléments de tels que et . On a alors et . Ce qui prouve bien de l'action est transitive.

[Collap35]

Bonsoir,

J'essaye de montrer que l'action de SL(2,R) sur RU{infini} est 2-transitive avec la même méthode, c'est-à-dire : pour tout couple (x,y) de RU{infini}^2 il existe A dans SL(2,R) telle que (A.x , A.y)=(0,0). Malheureusement j'aboutis à une contradiction dans le cas où x=infini et y un réel, en effet :
A.infini=0 implique que a/c=0 soit a=0
et A.y=0 implique que ay=-b
Donc on doit avoir a=b=0, mais alors det(A)=ad-bc=0, donc A n'appartient pas à SL(2,R) !

Où ai-je fait une erreur ? Merci d'avance pour votre aide !

[cuati]

Bonsoir,
tu peux revoir la définition de la 2-transitivité, les éléments doivent être distincts, tu ne peux donc pas choisir (0,0). Essaye avec par exemple...