Soit A une partie convexe de C ou de R2, c'est a dire telle que pour tous a, le segment a,b=(tb+(1-t)a; 0t1) est contenu dans A.
On se donne une application f:A dans R continue, ce qui signifie qu'elle est continue en chaque point de A, c'est a dire pour tout a appartenant A, la propriété suivante est vérifiée:
Pour tout suite (an) An qui converge vers a, (f(an) converge vers f(a)
a) Soient x, y appartenant a f(A) et z R tels que x < z < y. On se donne a,b appartenant a A tel que x=f(a) et y=f(b). Prouver que la fonction G
,1 tf(tb+(1-t)a) est bien définie et continue. En déduire que z appartenant af(A).soit A un convexe de R^2 et f : A --> R continue
soit h : [0, 1] --> A : t --> tb + (1 - t)a
soit F : [0, 1] --> R : t --> F(t) =f o h (t)
alors ::
a/ h est bien définie !!! c'est-à-dire que j'ai bien définie les ensembles de départ et d'arrivée et que h existe bien ...
f et h sont continue donc F est la composée de deux fonctions continues donc elle est continue.
Donc est bien définie et continue.
Pour ce qui est de z:
Soit A une partie de R, f(A) étant un intervalle et f continue on a pour tout x,y f(a) et z appartenant a R tel que x plus petit que z qui est plus petit que y. Donc z appartient a f(A)
dans la question b) on me demandait quelle propriété de f(A) et de f est traduite par le a)
Si une fonction continue sur un intervalle prend deux valeurs m et n alors elle prend toutes les valeurs intermédiaires entre m et n
2°) Soient I=[a,b] un segment non vide de R et f une fonction de I dans I
a) on note R l'application de T=accolade( (x,y)I2; x inférieur strict a y) définie par R(x,y)=(f(y)-f(x))/(y-x) pour tout (x,y) R. Prouver que R est continue au sens défini dans le 1°)
I=[a,b] et f:II est continue
R(x,y)= (f(y)-f(x))/y-x)
f est continue sur un segment donc sur tous les points du segment donc pour tout (x,y) I2, f est continue en x et y
lim R(x,y) quand yx = f'(x)
Donc R est dérivable et donc continue.
b°) On suppose que f conserve les distances, c'est à dire que pour tout (x,y) I x I, |f(x)-f(y)|= |x-y| Prouver grâce au 2a et au 1 que f=ID
On a pour tout (x,y) appartenant a I2, |f(x)-f(y)|= |x-y| alors comme f est continue sur un segment on a f(x)=x et f(y)=y
Donc f=Id
Merci d'avance pour votre aide