Aidez moi, reelement bloqué intégral sin(t²)

par **magnecity** » 05 Mar 2010, 21:58

Bonjour,
malgrès les conseils de certains je n'arrive toujours pas à résoudre cet exo:
soit epsilon>0 fixé, x,x+1 réels, quelle est la limite lorsque x->infi de
x^(1-epsi)*intégral[sin(t²)dt] entre x et x+1

Pour celà j'ai :
_ effectuer un changement de variable: t= rac(u)
j'obtient donc sans me préoccuper pour le moment de x^(1-epsi),
1/2*intégral[sin(u)/rac(u) du] entre rac(x) et rac(x+1)

puis effectué une intégration par partie pour voir si un resultat arrive
_ e'=1/rac(u) a= sin(u) ==> e=2rac(u) a'=cos(u)

mais voilà le soucis et que je n'arrive à rien, impossible de majoré qql chose, on m'a soufflé le fait d'utiliser le théorème de la moyenne mais je n'y arrive pas .. aidez moi svp

par **Ben314** » 05 Mar 2010, 22:14

magnecity a écrit:Effectué un changement de variable: t= rac(u)
j'obtient donc sans me préoccuper pour le moment de x^(1-epsi),
1/2*intégral[sin(u)/rac(u) du] entre rac(x) et rac(x+1)

Euhhh, c'est pas plutôt entre x² et (x+1)² ? (donc un trééééés grand intervalle et pas un touuuuut petit...)

Ce qui change... toute la suite :
Comme l'intervalle est "trés large", la fonction fait des tas d'oscilations dans l'intervalle ce qui risque de rendre l'intégrale "pas trop grande".

Quand tu fait une intégration par partie dans un contexte comme celui ci, le "terme tout intégré" n'est pas génant, on a une "vrai valeur", mais en général, on ne sait pas plus calculer la nouvelle intégrale que l'ancienne.
Le but est donc que cette nouvelle intégrale soit plutôt plus petite que l'ancienne (sinon, je vois pas trop ce que l'on gagne...)
Or, vu ce que tu propose, l'ancienne intégrale contient du 1/racine(u) et la nouvelle du racine(u).
Comme u est grand (il est entre x² et (x+1)² avec x qui va tendre vers l'infini) ta nouvelle intégrale est plus grande que l'ancienne : aucun interêt.

Que faut il faire ?
Réponse : une intégration par partie, mais dans l'autre sens, i.e. dériver le 1/racine(u) pour le rendre encore plus petit.

Sur la "nouvelle intégrale", tu pourra utiliser le Th de la moyenne (ou une bête majoration) et tu auras une majoration "non ridicule" du truc que tu cherche.

P.S. : je me demande s'il ne faut pas faire une deuxième intégration par partie pour encore diminuer l'intégrale "peu connue" si on veut complètement répondre à la question posée.

par **magnecity** » 07 Mar 2010, 11:34

et bien j'ai essayé d'effectuer les changements proposés mais pour moi, je n'y vois aucune solution.

lorsque je pose e=1/rac(u) a'= sin(u)
1/2*inté(sin(u)/rac(u) du (entre x²,(x+1)²) => 1/2*(-cos(u)/rac(u))entre(x²,(x+1)²)+1/4inté(sin(u)/(u)^(3/2) du

et donc le premier terme n'est pas simpifiable, et le deuxième terme reste une fois de plus incalculable, je peux toujours le majorer par la première intégrale (((inté(sin(u)/rac(u)))) mais je ne vois pas de solution pour me tirer d'affaire.

par **Joker62** » 07 Mar 2010, 12:10

Haileau ;)

Avec un changement de variable du genre u = t - x, on se ramène à une intégrale sur 0,1 et on pourrait utiliser la théorie des intégrales à paramètres ?

"Le coup du x^(1-e) devant l'intégrale va permettre de tendre vers 0 quand x va aller sur l'infini."

Edit : La dernière phrase est fausse évidemment. Excusez moi donc :)

par **magnecity** » 07 Mar 2010, 12:14

oui mais le soucis c'est que je ne connais pas la théorie des intégrales à parmaètres ..

par **Ben314** » 07 Mar 2010, 12:37

J'arrive pas trop à lire ce que tu écrit...

où

tend vers 0 et ce qu'il y a dans la grande parenthèse reste borné.

par **magnecity** » 07 Mar 2010, 13:07

oui voilà c'est la majoration que je viens de trouver , mais le petit truc c'est que je peux directement annoncer que (cos(x²)/x-cos((x+1)²)/(x+1)) tend vers 0 lorsque x tend vers l'infini ou il faut plus de précision ?

par **Ben314** » 07 Mar 2010, 13:16

Vu que chacun des deux termes à un numérateur borné et un dénominateur qui tend vers l'infini, il ne me semble pas utile d'écrire des lignes et des lignes concernant cette limite...
Par contre, vu ton énoncé, tu ferait bien de commencer par multiplier cette quantité par x^(1-epsilon) avant d'en chercher la limite !!!!

par **magnecity** » 07 Mar 2010, 13:36

ok ça marche, mais je ne peux pas dire que x^(1-e) tend vers 0 directement ?

par **Ben314** » 07 Mar 2010, 14:00

Souvent, en math, quand on utilise la lettre epsilon, ça sous entend que les truc interessant à dire concernent les "petites valeurs" de epsilon.

Par exemple, ici, si epsilon=1/2, tu as l'impression que
x^(1-epsilon)=racine(x) ça tend vers 0 lorsque x tend vers l'infini ?

par **magnecity** » 07 Mar 2010, 14:09

ah oui b nan forcément ..

par **magnecity** » 07 Mar 2010, 14:34

mais lorsque que je multiplie l'ensemble de ma majoration par x^(1-e) celà reviens a faire x/x^e
x^e lorsque x=> inf tend bien vers +inf
donc normalment sauf erreur de ma part ma majoration devient:
cos(x²)/2x^e - xcos(x+1)²/2x^e - 1/x(x+1)²x^e
==> 0 ? ==> 0

par **Ben314** » 07 Mar 2010, 14:41

J'arrive pas trop à lire ce que tu écrit...

où

tend vers 0 et ce qu'il y a dans la grande parenthèse reste borné.

P.S. Je me suis gourré et j'ai modifié mon ancien post....

par **magnecity** » 07 Mar 2010, 15:06

oui je suis d'accord
le premier terme de la parenthese multiplié par 1/x^e va tendre vers 0
mais pour le second terme, à cause du x au numérateur il y a une indétermination ?!

Aidez moi, reelement bloqué intégral sin(t²)

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