Aidez moi

[mona123]

Bonsoir , s'il vous plait j'ai besoin d'aide , l'exercise est le suivant
Y={x;)lp:x(2n)=0}, 1;)p;);) montre que l^p /Y et l^p sont isometrically isomorpkic .
et cesi mon effort :

Y={x;)lp:x(2n)=0}, 1;)p;);). Y est un ferme dans lp. on Definie le quotient espace lp/Y={x+Y:x;)lp}. alors, Y est un ferme, et la norme dans lp/Y est definie par ||x+Y||=inf{;)x;)y;)p:y;)Y}. est ce que on peut trouver une transformation surjective et lineare T:lp/Y;)lp telle que ;)T(x+Y);)p=;)x+Y;)?
Mon effort: pour le cas p=2, lp est un espace de hilbert , donc on peut trouver un produit scalaire , donc on peut definir une projection orthogonal sur l2. et on peut verifie que T(x+y)=x;)PY(x) ( PY is projection orthogonal sur l2) est une transformation lineare et surjective T:l2/Y;)l2 telle que ;)T(x+Y);)2=;)x+Y;).
comment je continue pour pdifferent de 2
merci d'avance .

[Ben314]

Salut,
Soit

car
et il y a égalité lorsque (qui est dans Y)

donc

Il te suffit alors de montrer que la fonction
définie par est :
- Bien définie.
- Bijective.
- Isométrique.

(les trois sont assez façiles...)

[mona123]

Salut,
Soit

car
et il y a égalité lorsque (qui est dans Y)

donc

Il te suffit alors de montrer que la fonction
définie par est :
- Bien définie.
- Bijective.
- Isométrique.

(les trois sont assez façiles...)

bonjour Ben314 merci pour votre reponse pouvez vous s'il vous plait m'aider avec la suite .en effet jai demai un examen en analyse hilbetienne et je n'arrive pas a repondre a cette question .merci en avance

[mona123]

bonjour merci pour votre reponse pouvez vous s'il vous plait m'aider avec la suite .en effet jai demai un examen en analyse hilbetienne et je n'arrive pas a repondre a cette question .merci en avance

bonjour etniopal merci pour votre reponse :
voici que j'ai essayer de faire (pouvez vous s'il vous plait me le coriger)
on pose S : lp lp qui envoi u sur la suite Su : n u(2n)
montrons que S est lineaire soit a C ,u=(un);)lp ,v=(vn);)lp
pour tout n;)N on a
S(au +v)(n)=(au +v)(2n)=au(2n) +v(2n)=a Su(n)+Sv(n)
par suite on a pour tout a C u=(un);)lp ,v=(vn);)lp
S(au +v)= a Su +Sv donc S est lineaire
montrons que S est surjective soit u=(un);)lp montrons qu'il escist v=(vn);)lp
telque Sv=u
on pose pour tout n;)N v(n)={0 si n est impaire, u(n) si n est paire} on a
v=(vn);)lp car Np(v) = ( |v(n)|p)1/p =;)( |u(2n)|p)1/p < =( |u(n)|p)1/p
et pour tout n;)N Sv(n)=v(2n)= u(n)
par suite Sv=u
d'autre part ker S ={u=(un);)lp telque Su=0}={u=(un);)lp telque Su(n)=0 pour tout n;)N}={u=(un);)lp telque u(2n)=0}=Y
on a alors d'apres le theoreme d'isomorphisme lp/Y est isomorphe a Im(S)=lp
merci