Aide pour élève du Superieur

par **Skullkid** » 23 Oct 2011, 18:10

ED102 a écrit:Elle est croissante de ]- inf, 0[
Elle est décroissante de ]0, +inf[

Positive sur ]-1,1[

bon défini sur R et dérivable sur R+

On parle bien de

?

Essaye de répondre à mes questions dans l'ordre, et uniquement à mes questions. Je t'ai dit que ta dérivée était fausse, donc les variations que tu en déduis sont fausses aussi.

Oui, le domaine de définition de u est R tout entier. Non, son domaine de dérivabilité n'est pas R+. Montre-moi tes calculs pour ces deux domaines.

par **ED102** » 23 Oct 2011, 18:45

soit u(x) = (1-x²)/(1+x²)

u'x') = -2x(x1+x²) 2x(1-x²)/(1+x²)² = -2x -2x^(3) -2x + 2x^(3)/(1+x²)² = - 4x/(1+x²)²

ensuite je sais que la dérivée de : arcos (u(x)) = - u'(x)/racine(1-u(x)²)

Je remplace dans U et U' et après ...

C'est impossible ma dérivée ne peut pas être fausse !?

par **Skullkid** » 23 Oct 2011, 19:11

Ah au temps pour moi, je croyais que ce que tu appelais u c'était la fonction totale, avec l'arccos...

Mais là on est d'accord : si u(x) = (1-x²)/(1+x²), alors u'(x) = - 4x / (1+x²)². (Bon cela dit il te manquait un signe moins avant, mais c'était probablement une coquille)

Mais bon, ce qui nous intéresse ce n'est pas tant la dérivée de u que la dérivée de f = arccos°u. Que trouves-tu pour f'(x) ?

Et tu n'as pas répondu à mes premières questions : montre-moi tes calculs qui donnent le domaine de définition et de dérivabilité de f.

par **ED102** » 23 Oct 2011, 19:29

x, -1 < -1+ (2/(1+x²)) = 1-x²/1+x²< -1+2 = 1

donc f(x) = Arcos ( (1-x²)/(1+x²) ) est défini sur R et dérivable sur R+

f'(x) = -4x/(1+x²)² x (-1)/ Racine(1 - ( (1-x²/1+x²)))

et là ... je suis bloqué.

par **Skullkid** » 23 Oct 2011, 19:30

Pourquoi dérivable sur R+ ?

Quel est le domaine de dérivabilité de arccos ?

par **ED102** » 23 Oct 2011, 19:43

Arcos est dérivable sur [-1, 1]

par **Skullkid** » 23 Oct 2011, 19:50

Es-tu sûr ? Dans ce cas que vaut arccos'(1) ?

par **ED102** » 23 Oct 2011, 19:56

arccos(1)
c'est l'angle appartenant [o, pi] dont le cos vaut 1, non ?

donc arccos(1) = 0

par **Skullkid** » 23 Oct 2011, 19:57

Oui mais je te demande arccos'(1), pas arccos(1) (qui vaut bien 0 nous sommes d'accord).

par **ED102** » 23 Oct 2011, 20:04

mais, ... rien c'est impossible, non ?
arcos'(x) = -1/Racine (1-x²)

arcos'(1) = -1/Racine (1-1²)

IMP

par **Skullkid** » 23 Oct 2011, 20:10

Oui, arccos'(1) n'existe pas. Donc 1 n'appartient pas au domaine de dérivabilité de arccos, qui ne peut donc pas être égal à [-1,1].

par **ED102** » 23 Oct 2011, 20:36

Alors ]-1, 1].

Bon je suis navré mais comme ça fait près de 3 h qu'ont est l'à dessus j'aimerai briévement passé à autre chose.

Je dois résoudre

arcsin (2x) = arcsin x + arcsin (xRacine(2))

je multiplie par sin

sin (arcsin (2x)) = sin (arcsin x + arcsin (xRacine(2)))

2x = sin (a+b) enfin je crois, là je bloque pour developper.

par **Skullkid** » 23 Oct 2011, 20:43

]-1,1[ plutôt. arccos est dérivable partout où elle est définie, sauf en -1 et en 1.

Donc quel est le domaine de dérivabilité de f, sachant que f est définie sur R tout entier et que x -> (1-x²)/(1+x²) est dérivable sur R tout entier ?

par **ED102** » 23 Oct 2011, 21:18

R

Mais pour l'instant, ça resoud pas mon problème

par **Skullkid** » 23 Oct 2011, 21:30

Non, réfléchis, ce ne peut pas être la première fois que tu cherches le domaine de dérivabilité d'une composée. En toute rigueur, le domaine de dérivabilité est à rechercher avant de calculer la dérivée : on ne fait des calculs sur des objets que lorsqu'on sait qu'ils existent ! Le but du jeu c'est que tu apprennes et comprennes la démarche logique.

Ta fonction f c'est f(x) = arccos(u(x)). Tu as montré que f est définie sur R. Or, u est dérivable sur R, arccos est définie sur [-1,1] et dérivable sur ]-1,1[. Quel est le domaine de dérivabilité de f (application du cours) ?

Pour ton deuxième exo, ce que tu as fait ce n'est pas multiplier par sin, c'est composer par sin, le choix des mots a une grande importance. Mais la première chose à faire, comme d'habitude, c'est de déterminer le domaine de définition de ton équation. Si x est solution de ton équation, ça veut dire que toutes les quantités présentes dans l'équation existent. Donc quel est l'ensemble auquel appartient x ?

Quand on travaille avec des fonctions qui ne sont pas définies sur R tout entier, que ce soit la racine carrée, l'arccos, le log ou quoi que ce soit, la première chose à faire est de regarder le domaine de définition.

par **ED102** » 23 Oct 2011, 21:37

ça te semble peut-être étrange mais jusque là ma méthode à tjs était calculatoire les raisonnements je m'en tenais à qlqhose de basique, ce n'était pas systématique chez moi.
Alors maintenant que j'ai bcp de raisonnement logique, bein ,, je but.

par **Skullkid** » 23 Oct 2011, 21:50

Oui c'est un des écueils qui minent pas mal de monde... Mais les maths c'est avant tout du raisonnement et de la compréhension. Le calcul c'est juste du calcul, on ne peut pas y échapper, ça peut être long et pénible, mais on peut toujours s'en sortir avec de l'entraînement.

Bon il se trouve que pour les dérivées, dans la quasi-totalité des cas il est possible de calculer la dérivée "à l'aveugle", sans savoir quand c'est défini, et de déterminer le domaine de dérivabilité en regardant l'expression finale. Même si ça marche à tous les coups ou presque, c'est néfaste de procéder comme ça quand on est en phase d'apprentissage.

Si j'ai bien compris tu préfères qu'on s'occupe du deuxième exo. Ma question est : à quelle(s) condition(s) sur x l'équation arcsin (2x) = arcsin x + arcsin(x sqrt(2)) a-t-elle un sens ? C'est-à-dire, à quel ensemble doit appartenir x pour que les nombres arcsin (2x), arcsin x et arcsin(x sqrt(2)) existent ? C'est toujours la première question à se poser face à une équation : quel est le domaine de résolution.

par **ED102** » 23 Oct 2011, 22:26

Bon je résume

Arcsin est défini est dérivable sur [-1, 1]

donc 2x, x et x sqrt(2) doivent appartenir à cet intervalle, non ?

par **Skullkid** » 23 Oct 2011, 22:45

Oui, donc à quel ensemble doit appartenir x ?

par **Skullkid** » 23 Oct 2011, 22:47

ED102 a écrit:Bon je résume

Arcsin est défini est dérivable sur [-1, 1]

donc 2x, x et x sqrt(2) doivent appartenir à cet intervalle, non ?

Toujours pas pour la dérivabilité : arcsin est définie sur [-1,1], mais dérivable uniquement sur ]-1,1[, comme arccos. Mais bon ici la dérivabilité on s'en fout.

Oui, en effet : 2x, x, et xsqrt(2) doivent appartenir à [-1,1]. Donc à quel ensemble doit appartenir x au final ?

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