Course d'un eleve de polytech...

[Jonathan_]

Bonjour peuple de mathématiciens, étant en trainde travailler sur la continuite et derivabilite, nous avons eut une serie d'exercice a faire du genre qui me semble un peu bizarre, et je vois pas du tout comment les aborder...

un pris au hasard, un coureur effectue 2000 metres en 10 minutes... montrer qu'il existe un intervalle de 5 minutes pendant lequel il parcourt 1000 metres...

Si quelqu'un pouvez eclairer ma lanterne...
Merci d'avance...

[fahr451]

TVI

considérer l application f qui à t entre 0 et 5 associe la distance parcourue entre t et t+5
f est continue ;f(0)+f(5) = 2000
donc l'une des deux valeurs est supérieure à 1000 lautre inférieure et donc il existe t tel que f(t) = 1000

[Jonathan_]

ok,merci, je pense avoir a peu pres compris... vais voir si j'arrive a le retrouver...

[Pourtant]

Tu prends une application f de [0,1] dans R continue sur [0,1] et telle que f(0)=f(1).
Ensuite tu démontres que pour tout entiers naturel n >= 2, il existe x' appartant à [0,1] tel que :
f(x' + 1/n) = f(x')

(opérations sur les fonctions continues, théo des valeurs intermédiaires, tu peux aussi introduire une somme pour t'aider)

Ensuite il te "suffit" d'appliquer ce résultat à ton problème :
Tu définies une fonction d que tu supposes continue qui représente la distance parcourue à l'instant t.

d(0)=0 et d(1)=2000 (le temps est donc exprimé en dizaines de minutes)
f(t)=d(t) - 2000t
Ainsi f(0)=0 et f(1)=0 ce qui te permet de te ramener au cas précédent.
f(t+1/n) = f(t) a au moins une solution, en particulier il existe t' appartenant à [0,1] tel que f(t' + 1/2)=f(t')

Puis tu repasses à l'expression : f(t)=d(t) - 2000t pour tomber sur ton résultat.


C'est assez succint mais si ça peut te donner une idée ^^

[fahr451]

on fait un vote pour déterminer quelle preuve est perçue comme la plus courte?

[Jonathan_]

merci bcp, ben celle de fahr451 est plus courte,mais c'est vrai que pour un oral ou sur une copie, tu dois en mettre plein la vue avec la demo de pourtant...

[Pourtant]

Awoups, désolé ^^

[Jonathan_]

non, j'aime bien ta reponse, pour la deuxieme partie c'est bon, j'ai compris, mais pour montrer que pour tout n il existe un x0 pour lequelle f(x0)=f(x0+1/n), j'arrive pas a montrer que le X0+1/n est encore dans l'ensemble de définition... peut suis-je mal pris...

j'ai posé g(x )=f(x)-f(x+1/n), ensuite comme [0,1] esy un segment son image est un segment aussi, on l'appelle [c,d]... il existe un x1 tel que f(x1)=c , on aura donc g(x1)<=0, de meme il existe un x2 tel que f(x2)=d donc g(x2)>=0, th valeur intermediaire... mais le truc c'est que je reste bloqué pour montrer que le x0 appartient à [0,1]...

[Jonathan_]

finalement c'est bon, j'ai reussi a trouver quelquechose en faisant le somme des g(x) pour x varient de 1/n a (n-1)/n... encore merci de votre aide..

[Gary O]

Tu prends une application f de [0,1] dans R continue sur [0,1] et telle que f(0)=f(1).
Ensuite tu démontres que pour tout entiers naturel n >= 2, il existe x' appartant à [0,1] tel que :
f(x' + 1/n) = f(x')

(opérations sur les fonctions continues, théo des valeurs intermédiaires, tu peux aussi introduire une somme pour t'aider)

Ensuite il te "suffit" d'appliquer ce résultat à ton problème :
Tu définies une fonction d que tu supposes continue qui représente la distance parcourue à l'instant t.

d(0)=0 et d(1)=2000 (le temps est donc exprimé en dizaines de minutes)
f(t)=d(t) - 2000t
Ainsi f(0)=0 et f(1)=0 ce qui te permet de te ramener au cas précédent.
f(t+1/n) = f(t) a au moins une solution, en particulier il existe t' appartenant à [0,1] tel que f(t' + 1/2)=f(t')

Puis tu repasses à l'expression : f(t)=d(t) - 2000t pour tomber sur ton résultat.


C'est assez succint mais si ça peut te donner une idée ^^

C'est quelque chose de plus général ça, à rapprocher du "théorème de cordes" (je ne sais pas s'il est connu sous ce nom-là!).