Aide pour élève du Superieur

[ED102]

Je refais un sujet au titre certes, un peu étrange mais bon, je remercie bien sûr la modération d'avoir si gentillement effacer mon sujet précèdent et parce que, je sais que certains qui ont l'habitude de m'aider me reconnaitront.


Mes questions portent sur la surjection/injection et sur cette .... manière disons de changer sans cesse les intervalles pour travailler dans les conditions des relations de reciprocités

Par exemple avec les bijection, les fonction arcsin/cos/tan et autre tanh/cosh/sinh

Si tel bazarre de x est dans tel intervalle alors on travaille dans ..., oui mais attention on a ça alors il faut travaillé sur l'ouvert ou la restriction parce qu'en plus cette fonction et définie sur ...

Enfin si vous voyez de quoi je parle, ça j'y arrive pas, franchement je patoge.


Alors si on pouvais me guider à travers qlqs exercices, me donner des méthodes (avec quoi j'ai tjs raisonner depuis que je fais des math, ce qui fait que la logique mathématique me passe peût-être au-dessu du nez).

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Je commence avec cette exercice

Pour f : R* R
............x f(x) = x - (1/x)

1) l'application est-elle bijective ?

Je commence par faire la dérivée et je trouve
f est est strictement monotone croissante et continu sur R
Donc elle est injective et surjective donc elle est bijective

donc elle admet une bijecton reciproque de R R*

oui/non (est-ce une preuve suiffisante ?)

Argh comment calculer cette reciproque, en faisant y = f(x) ?

Ais-je homis des choses, quelle redaction dois-je adopter, ce que j'ai fait suffit-il ?

Merci d'avance

[Doraki]

Je commence avec cette exercice

Pour f : R* R
............x f(x) = x - (1/x)

1) l'application est-elle bijective ?

Je commence par faire la dérivée et je trouve
f est est strictement monotone croissante et continu sur R

Comment elle fait pour être continue en 0 alors qu'elle n'est pas définie en 0 ?

Argh comment calculer cette reciproque, en faisant y = f(x) ?

oui, en résolvant les équations y = f(x), d'inconnue x (dans R*) et de paramètre y (dans R)

[ED102]

Ah, faut-il alors que je me restreigne à un intervalle précis ?

[ED102]

Elle est continue sur ] 0, + inf [, alors.

[Exquise Sensation]

Ah, faut-il alors que je me restreigne à un intervalle précis ?

Oui trouve un intervalle sur lequel f est bijective, sachant qu'elle est monotone et continue sur R* tu devrais même facilement pouvoir trouver le plus grand ensemble sur lequel elle est bijective.

Pour inverser:
Soit x!=0, y=x-1/x
x²-yx-1=0

Et écrit sous cette forme tu auras peut être l'idée pour continuer.

[ED102]

Pour inverser:
Soit x!=0, y=x-1/x
x²-yx-1=0

Et écrit sous cette forme tu auras peut être l'idée pour continuer.

ça c'est pour trouver la bijection reciproque, n'est ce pas

Delta = Racine(y² + 4)

x = x + racine(x²+4)/2

x = x - racine(x²+4)/2

il faut que je la restreigne à [1, + inf[ ?

[Exquise Sensation]

ça c'est pour trouver la bijection reciproque, n'est ce pas

Delta = Racine(y² + 4)

x = x + racine(x²+4)/2

x = x - racine(x²+4)/2

il faut que je la restreigne à [1, + inf[ ?

x=x+.. ?? t'as du écrire une étourderie.

[ED102]

x = x + racine(y²+4)/2

x = x - racine(y²+4)/2

c'est la même chose que j'exprmie tout avec x ou tout avec y ?

Et maintant ? je dois trouver qul est la bonne ?

Mais juste après il me parle de

f+ : ] 0, + inf [ R
...........x......... f+(x) = f(x)
et

f- : ]- inf, 0 [ R
...........x......... f-(x) = f(x)


Il y a un lien ?

[ED102]

soit

k : R - {-2} ;) R
.........x.......;) (x + 1)/(x+2)

Est-elle bijective, surjective, injective ?

Comment dois-je procéder au départ, est ce que je commence par faire la dérivée ou pas ?

[Skullkid]

Salut, ta fonction est définie sur deux intervalles disjoints, donc il va falloir l'étudier sur ces deux intervalles. En effet, tu sais que si une fonction f définie sur un intervalle I est continue strictement monotone alors elle est injective. On peut aussi dire qu'elle est bijective de I sur f(I) (ou plus précisément que l'application g : I -> f(I) qui à x associe f(x) est bijective), ce qui revient au même.

Donc, ici tu peux par exemple regarder si elle est en effet continue strictement monotone sur chacun des deux intervalles I1 et I2. Si oui, il faut que tu regardes qui sont k(I1) et k(I2). Si l'intersection de k(I1) et k(I2) est non vide, ça signifie qu'il y a un élément qui a un antécédent dans I1 et un antécédent dans I2. Puisque I1 et I2 sont disjoints, cet élément a strictement plus d'un antécédent, et k n'est pas injective. Si l'union de k(I1) et k(I2) n'est pas égale à R tout entier, c'est qu'il y a un élément qui n'a aucun antécédent, et donc que k n'est pas surjective.

Pour ta fonction on peut aussi "avoir l'oeil" et repérer un détail qui règle le problème immédiatement, mais mieux vaut apprendre d'abord la logique générale avant de se lancer dans les astuces.

[ED102]

Donc, je dois l'étudier pour

x ;)]- inf, 2[
et
x ;)]2, +inf[

[Skullkid]

Oui, c'est parce qu'il ne faut pas tomber dans le piège qui consisterait à dire "si f est bijective de E dans f(E) et de F dans f(F), alors elle est bijective de EUF dans f(EUF)". La plupart des théorèmes que tu connais sont valables pour des fonctions définies sur un intervalle. Quand le domaine de définition de ta fonction n'est pas un intervalle, il faut essayer de découper le domaine en intervalles, mener l'étude sur chacun des intervalles, et voir comment on peut recoller les morceaux à la fin.

[ED102]

Il faut essayer de découper le domaine en intervalles, mener l'étude sur chacun des intervalles, et voir comment on peut recoller les morceaux à la fin.

Ah, justement le gros point sur lequel je but, en ce moment avec aussi cette mêm histoire avec arccos/sin/tan, th,ch, sh ...

[Skullkid]

Sur quoi butes-tu exactement ? Essaye déjà d'étudier ta fonction k et de me dire si elle est bijective ou non, et pourquoi. Une chose à la fois.

[ED102]

Non, je disais quand on applique ce que tu dis avec les arc et fonct hyperbolique où il faut restreindre les intervalles en faisant attention au faites que ça, ça ... doit bien appartenir au bon intevalle et tripatouiller celui-ci pour être dans de bonne conditions

[Skullkid]

C'est pas très précis ce que tu me dis là :p

Mais oui, en effet, les fonctions trigonométriques réciproques sont notamment connues pour être exigeantes au niveau des intervalles sur lesquels on travaille. Il faut faire attention au cadre de validité des propriétés qu'on utilise (ce qui est évidemment vrai tout le temps !).

[ED102]

Bon c'est un autre problème que je souhaite abordé, mais pour l'instant c'est les application sur/inj/bij qui m'interrese.

d'ailleurs je me suis pas trompé c'est pas ?

je dois l'étudier pour

x ;)]- inf, -2[
et
x ;)]-2, +inf[

[Skullkid]

d'ailleurs je me suis pas trompé c'est pas ?

je dois l'étudier pour

x ]- inf, -2[
et
x ]-2, +inf[

Naturellement. J'avais pas fait gaffe.

[ED102]

Dérivée :

1/(x+2)²

f(x) = x
x+1/x+2 = x

donc on a x²+x-1 = 0

delta = Racine(5)

x1 = 1 + Racine(5)/2

x2 = 1 - Racine(5)/2


mais après, comment je réunis les intervalles

[Anonyme]

Bonjour ED102

Je pense que tu es capable (vu que c'est le forum supérieur) d'étudier cette fonction et de tracer une représentation graphique de cette fonction sur son domaine de définition.

Seulement après tu peux essayer de répondre à tes différentes questions (injectivité, surjectivité, bijectivité de quel intervalle sur quel intervalle ? ) en distinguant les cas



Tu sais que cette fonction n'est pas définie en
A la rigueur en prolongeant cette fonction par continuité en posant , tu peux éventuellement répondre aux mêmes questions mais en utilisant "cette nouvelle fonction" qui est définie sur