Aide pour élève du Superieur

[Skullkid]

Pourquoi as-tu cherché à résoudre f(x) = x, ED102 ? Tu t'intéresses à la bijectivité de f. Comme f est une fonction continue sur chacun des intervalles, étudier la bijectivité de f sur ces intervalles c'est étudier son sens de variation. Ensuite, il faut recoller les morceaux, c'est-à-dire, comme je te l'ai dit plus haut, étudier l'union et l'intersection de f(I1) et f(I2).

A la rigueur en prolongeant cette fonction par continuité en posant

Ahem...

[Anonyme]

OUI SKULLID merci mon ton indication sur mon erreur dans mes explications :
je rephrase : (en essayant de corriger mon erreur)

A la rigueur en prolongeant cette fonction posant f(-2)=1 , tu peux éventuellement répondre aux mêmes questions mais en utilisant "cette nouvelle fonction" qui est définie sur

[ED102]

Bonjour ED102




Tu sais que cette fonction n'est pas définie en
A la rigueur en prolongeant cette fonction par continuité en posant , tu peux éventuellement répondre aux mêmes questions mais en utilisant "cette nouvelle fonction" qui est définie sur

f(-2)=1 ???




ça va peut-être sembler bête, mais je ne vois pas se que ça veut dire.

Je comprend la notion de sur/inj/bij (enfin je crois), mais pas leur déduction et application en exercice par analyse, non.

f est croissante sur ces 2 intervalles.

[Skullkid]

Oublie cette histoire de f(-2) = 1.

f est continue strictement croissante sur ces intervalles, et le "strictement" est très important. Donc, tu en déduis que f est bijective de I1 sur f(I1) et de I2 sur f(I2) (parce qu'une fonction f continue strictement monotone sur un intervalle I est bijective de I sur f(I))

Mais, la question à laquelle tu dois répondre c'est "f est-elle bijective de I1 U I2 sur R ?". Et c'est là qu'il faut recoller les morceaux.

Que vaut f(I1) ?
Que vaut f(I2) ?
Que vaut f(I1) inter f(I2) ? Que peut-on en déduire ?
Que vaut f(I1) U f(I2) ? Que peut-on en déduire ?
Conclusion ?

[ED102]

Attend ! Attend !

Une fonction strictement monotone (croissante ou décroissante) est injective
Une fonction continue est surjective

Non ?

Le fait que ces deux condition soit réunient implique la bijectivité.

Donc question un tableau de variation détaillé (avec représentation) est-il vis-à-vis d'un correcteur une preuve suffisante pour prouver l'inj/surj ?

Est-il utile de trouver l'expression de la bijection réciproque

f-1(y) = 2y-1/1-y

ou comme (y) est muette

f-1(y) = 2x-1/1-x

[Skullkid]

Attend ! Attend !

Une fonction strictement monotone (croissante ou décroissante) est injective
Une fonction continue est surjective

Non ?

Non. La fonction de R dans R qui a tout x associe 0 est continue mais pas surjective.

Donc question un tableau de variation détaillé (avec représentation) est-il vis-à-vis d'un correcteur une preuve suffisante pour prouver l'inj/surj ?

Le tableau et la représentation seuls ne suffisent pas, puisque tu ne dis pas comment les interpréter pour décider de la bijectivité ou non. Cela dit ils peuvent être très utiles pour visualiser.

Est-il utile de trouver l'expression de la bijection réciproque

f-1(y) = 2y-1/1-y

Tant que tu n'as pas prouvé la bijectivité de ta fonction, il est interdit de parler de sa bijection réciproque, puisque tu n'as pas prouvé son existence. En revanche, résoudre l'équation f(x) = y d'inconnue x peut être utile. f est bijective signifie que cette équation a exactement une solution, quel que soit le réel y.

Après résolution, tu sais que lorsque y est différent de 1, cette équation a bien exactement une solution, qui est (2y-1)/(1-y). Mais quand y=1, cette équation n'a pas de solution, donc f n'est pas bijective (et donc sa bijection réciproque n'existe pas).

ou comme (y) est muette

f-1(y) = 2x-1/1-x

C'est plutôt f-1(x) = (2x-1)/(1-x), fais attention aux parenthèses, sans ça on ne comprend pas ce que tu écris. Si je lis ton message tel quel, tu as écrit f-1(x) = x-1.

[Nightmare]

Tient, j'aurais inconsciemment participé à cette discussion? ^^

[ED102]

Si il y a bijectivité, il y a forcement injectivite et surjectivité, non ?


En effet Nighmare, tes actions transparaissent, même là où tu ne passe pas.

si je montre que f(x) = y pour tout y F possède au plus une solution dans E, est-ce une preuve suffisante de l'injectivité ?

[Skullkid]

Si il y a bijectivité, il y a forcement injectivite et surjectivité, non ?

Oui, par définition.

si je montre que f(x) = y pour tout y F possède au plus une solution dans E, est-ce une preuve suffisante de l'injectivité ?

Oui.

[Anonyme]

f(-2)=1 ???




ça va peut-être sembler bête, mais je ne vois pas se que ça veut dire.

Je comprend la notion de sur/inj/bij (enfin je crois), mais pas leur déduction et application en exercice par analyse, non.

f est croissante sur ces 2 intervalles.

Conseil

Ecoute ce que raconte skullid :we:

[ED102]

Soit x = x' tel que k(x) et k(x') entraine que on a (x+1=(x'+2) = (x+2)(x'+1)
donc x=x' et k est injective

Mais je n'arrive pas à le démontrer avec f(x) = y qui sert aussi à trouver l'expression de la bijection réciproque.

Du moins je crois que c'est k-1(y) = 2y-1/1-y

comme k-1(y) = x ( où x= (2y-1)/(1-y) )

on a

k(2y-1/1-y) = y

or pour y=1, y n'a pas d'antécédent

Or une fonction est surjective si est seulement si on a un ou plusieurs antécédents.

Donc k n'est pas surjéctive, donc elle n'est pas Bijective


---------------------------------------------------------------------------------------
"
Que vaut f(I1) ?
Que vaut f(I2) ?
Que vaut f(I1) inter f(I2) ? Que peut-on en déduire ?
Que vaut f(I1) U f(I2) ? Que peut-on en déduire ?
Conclusion ?"

Je n'ai pas bien compris ce que tu attendais de moi, ici ?

[Skullkid]

Tu t'embrouilles là...

Soit x = x' tel que k(x) et k(x') entraine que on a (x+1=(x'+2) = (x+2)(x'+1)
donc x=x' et k est injective

Ça ne veut rien dire. Et puis tu commences par "soit x = x' " pour finir par "donc x = x' ".

Du moins je crois que c'est k-1(y) = 2y-1/1-y

Encore une fois, tant que tu n'as pas prouvé que k est bijective, tu n'as pas le droit de parler de k-1, parce que tu ne sais pas si elle existe. Si k est bijective, k-1 existe. Sinon, k-1 n'existe pas et on n'a pas le droit d'en parler.

k(2y-1/1-y) = y

or pour y=1, y n'a pas d'antécédent

Or une fonction est surjective si est seulement si on a un ou plusieurs antécédents.

Donc k n'est pas surjéctive, donc elle n'est pas Bijective

Ça c'est bon (bien que pas très bien rédigé). Tu as donc prouvé que f n'est pas surjective. Pour l'injectivité, c'est pas encore bon.

"
Que vaut f(I1) ?
Que vaut f(I2) ?
Que vaut f(I1) inter f(I2) ? Que peut-on en déduire ?
Que vaut f(I1) U f(I2) ? Que peut-on en déduire ?
Conclusion ?"

Je n'ai pas bien compris ce que tu attendais de moi, ici ?

Ce que je t'avais expliqué plus haut : f(I1) inter f(I2) c'est l'ensemble des éléments qui ont au moins deux antécédents par f (puisqu'un élément de cet ensemble a au moins un antécédent dans I1, et un dans I2). f est injective si et seulement si cet ensemble est vide. Quant à f(I1) U f(I2) c'est en fait l'ensemble image de f. f est surjective si et seulement si cet ensemble est égal à R tout entier.

[Anonyme]

Encore une fois, tant que tu n'as pas prouvé que k est bijective, tu n'as pas le droit de parler de k-1, parce que tu ne sais pas si elle existe. Si k est bijective, k-1 existe. Sinon, k-1 n'existe pas et on n'a pas le droit d'en parler..

Juste pour un complément dinformation
Pour toute fonction même non bijective la notion/notation existe et fait "uniquement référence" à la notion d'un ensemble d'antécédents par la fonction

Par exemple on peut écrire si est une fonction de E vers F
{ tels que }
même si n'est pas bijective
et est un ensemble qui est inclus dans E :

ps)
Cette notation est plutôt déroutante et provoque des confusions avec la notion de fonction réciproque d'une fonction bijective...

[Skullkid]

Par exemple on peut écrire si est une fonction de E vers F
{ tels que }
même si n'est pas bijective
et est un ensemble qui est inclus dans E :

Non, on n'écrit pas , mais . Si y est un élément de l'ensemble d'arrivée de k, n'a de sens que si k est bijective, et ce que tu as écrit est archi faux.

[Anonyme]

Merci Skullkid d'avoir encore corrigé une de mes erreurs....
ce n'est certainement pas la dernière fois....

[ED102]

simplification d'expression

Arcos (1-x²/1+x²)

Arcos est définis sur [-1 , 1] donc u(x) = 1-x²/1+x² doit ;) [-1 , 1]

Bon on fait un encadrement

ensuite on fait la dérivée de u(x)

u'(x) = 4x/(1+x²)²

Que dois-je faire en suite ?

[Skullkid]

Attention aux parenthèses ! Telle que tu l'as écrite, ta fonction c'est la fonction nulle.

Que trouves-tu comme domaine de définition de u ? Et comme domaine de dérivabilité ? Je ne suis pas d'accord avec ta dérivée.

[ED102]

u'(x) = 4x/(1+x²)²

j'avais oublié le ²

[Skullkid]

Non, toujours pas. Avant tout je veux voir ton domaine de définition et ton domaine de dérivabilité.

[ED102]

Hi, (ça fait drôle de reprendre un ancien sujet, mais c'est pour parler d'autre chose).

Montre que

Pour tout k;)N* argth(1/k²+3k+1) = argth(1/k+1) - argth(1/k+2)

En considérons la suite Sn déf par:

Pour tout n>=1 Sn=S(de k=1 à n)Argth(1/k²+3k+1)

Déterminer une formule simple pour Sn.

--------------------------------------------------------

Besoin d'aiguillage
J'avais penser à utiliser l'expression logarithmique de Argth mais, ....