Analyse d'une production d'élève

[mirlamber]

Bonjour
Je suis en M1, j'ai des cours de préparation à l'oral et voici ce que mon enseignant me propose de faire

EXERCICE Thème : suites
Soit f la fonction définie par : f(x) = ln(x) + x

1) Soit un entier naturel non nul, on s'intéresse à l'équation :
(En) ln(x) + x = 1/n

Justifier qu'elle admet une unique solution dans l'intervalle ]0, +[. On note cette solution.

2) On s'intéresse à la suite des valeurs de lorsque n d'écrit l'ensemble des nombres entiers naturels non nuls.

a) Montrer que la suite est décroissante.
b) Justifier que la suite converge et déterminer sa limite.

REPONSE d'un élève
f'(x) = 1/x + 1 > 0 donc f est strictement croissante, donc, d'après le théorème des valeurs intermédiares l'equation (E) admet une unique solution.



QUESTION
Analyser la réponse de l'élève : de quelles connaissances et compétences en lien avec le thème de l'exercice témoigne t elle ? Comment pourrait on améliorer sa réponse.

Ma première remarque est que la question 1 n'a que peut de rapport avec le thème suite.. donc je suis un peu gêné par la question.
Je dirai qu'il sait qu'il faut utiliser le TVI ce qui est déjà une bonne chose, mais c'est à peu préés tout. Il manque l'hypothèse de la continuité et les valeurs limites de la fonction f. Ca donne plus l'impression qu'il sait qu'il faut utiliser le TVI dans un cas pareil mais pas trop comment faire.
Ensuite j'ai aussi l'impression qu'il a voulu se débarasser du 1/n dont il n'est pas fait mention une seule fois dans la réponse. On peut aussi remarquer qu'il a écrit l'équation (E) et pas (En). Ca réponse manque d'explication pour être sur de savoir s'il a compris ou non.

Pour améliorer sa réponse, j'aurai tendance à lui présenter une fonction continue et strictement croissante et dont l'équation f(x) = 0 n'admet pas de solution, l 'exponentielle par exemple. Et même une fonction croissante et non continue, par exemple la fonction partie entiere = 1/2.
Cela lui permettrai de lui montrer l'importance des hypothèses du théorème.
Ensuite je lui conseillerai de faire un tableau de variation ce qui permet de bien visualiser la chose.

Je sais qu'il faut essayer de valoriser la réponse et c'est ce que va me demander mon prof mais j'ai un peu de mal.

J'espère que j'aurai quelque remarque et ou conseil avisé de votre part.
Merci davance

[adrien69]

En fait ce n'est pas vraiment le théorème des valeurs intermédiaires qu'il faut utiliser ici, mais un de ses corollaires : le théorème de la bijection qui permet d'assurer l'existence et l'unicité de la solution.

Mon analyse de sa réponse :

Utilisation des quantificateurs : absente

Hypothèses : rares ou sous-entendues, dériver c'est savoir que l'on est continu, le théorème des valeurs intermédiaires (généralisé en plus ici) possède des hypothèses précises non spécifiées mais utilisées par ailleurs (continuité pour dériver)

Travail préliminaire : nul, quel domaine de définition, de dérivabilité ? (c'est un exercice de début de L1/sup' au mieux, on s'attend à ce que ce soit détaillé)

Bons points : il sait dériver, il sait qu'il faut la stricte monotonie, il sait que le TVI intervient à un moment de la démo, il a fait l'effort de faire une phrase à la fin.

Sentiment personnel : on a l'impression que c'est un DM fait à la va-vite la veille du rendu.

[mirlamber]

Merci beaucoup !! Ca m'aide beaucoup !
Je partage votre sentiment quant à la réponse plus que succincte de cette élève.