Polynome

[Bloup]

Bonjour,

Voilà je bute sur une question d'un des exercices à faire.
Tout d'abord, voici l'énoncé :

On considère la suite de polynômes Pn de R[X] définie pour n entier naturel non nul par :
P1=1 ; P2=X et pour tout n>2 : Pn = XP(n-1) - P(n-2)

5. Soit n et p deux entiers tels que n>1 et p>0
c) On effectue la division euclidienne de n par p : n=qp+r avec 0<(ou égale)Démontrer que Pn;)Pp=Pp;)Pr

Je sais comment faire une division euclidienne de base (c'est à dire avec seulement des entiers et des X) mais là je vous avoue que cette notation m'échappe. Je ne comprend même pas l'énoncé, du coup je ne sais pas comment faire.

Merci par avance, de vos réponses
Cordialement,
Bloup.

[mr_pyer]

Salut !

J'avoue que je ne vois pas de solution à ton problème là tout de suite. Mais ça m'intéresse...
Je vois que tu numérote 5. et c), c'est un exercice avec des questions avant ? Si oui tu peux les mettre ça pourrait aider.

[Bloup]

Oui bien sur ! Voici :

1.Calculer les huit premiers polynômes de cette suite

2. Quel est, suivant n, le degré de Pn ?

3. Démontrer que pour tout a reel et tout entier n entier naturel non nul :
sin na=sinaPn (2cos a)
En déduire les racines du polynômes Pn.

4. Démontrer que la différence Pn² - P(n+1)P(n-1) est constante. En déduire que deux polynômes successifs de la suite sont premiers entre eux.

5. Soit n et p deux entiers tels que n>1 et p>0
a) Démontrer que P(n+p)=Pn*P(p+1) - P(n-1)*Pp
b) En déduire que P(n+p);)Pp=Pn;)Pp
c) On effectue la division euclidienne de n par p : n=qp+r avec 0<(ou égale)Démontrer que Pn;)Pp=Pp;)Pr
d) En déduire que Pn;)Pp=P(n;)p). Vérifier sur un exemple tiré de la première question.

[mr_pyer]

C'est beaucoup plus simple avec les questions précédentes !

Pour la question 5c) :
Une possibilité c'est d'utiliser la question 3.
Tu peux par exemple essayer de montrer que est une racine de et de est équivalent à est une racine de et de .
Rappel :

[Bloup]

Merci beaucoup mais votre méthode n'utilise pas la division euclidienne non ? Je pense que notre enseignant a voulu qu'on fasse cette division et ensuite en déduire : Pn;)Pp=Pp;)Pr

[Bloup]

J'me suis mal exprimer, je pense que notre enseignant souhaite que l'on s'appuie sur ce théorème de la division euclidienne pour montrer : Pn;)Pp=Pp;)Pr

[Doraki]

Il suffit de regarder ce que dit la question 5b) suffisemment longtemps.