Probabilités Série ES

[Miss-Emy]

Bonjour, j'ai un devoir maison à rendre pour lundi et il me reste un exercice où je bloque totalement, pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ? En vous remerciant.

Enoncé :

Un laboratoire doit analyser 100 prélèvements sanguins à la recherche d'un agent pathogène. On supposera que la probabilité de trouver l'agent pathogène dans un prélèvement est 0.02 et qu'aucune autre indication ne permet de savoir si un prélèvement est contaminé ou pas.
Au lieu d'analyser 100 prélèvements, le laboratoire décide de regrouper une partie de chaque prélèvement en 10 prélèvements en 10 lots de 10. Il commence alors par tester chaque lot. Si l'agent pathogène est absent du lot, les 10 prélèvements du lot, sont déclarés sains. Si l'agent pathogène est trouvé dans le lot alors le laboratoire teste un à un les 10 prélèvements pour détecter le ou les prélèvements contaminés. Le but de ce problème est de trouver le nombre moyen d'analyse à effectuer par cette seconde méthode.

Questions :

1. Expliquer pourquoi, lorsqu'on mélange 10 prélèvements, la probabilité pour que le lot obtenu soit sain est 0,98^10. En déduire la probabilité pour que le lot soit contaminé (on donnera le résultat avec quatre chiffres après la virgule).

2. On teste maintenant les 10 lots obtenus. Soit N la variable aléatoire donnant le nombre de lots contaminés.
N suit une loi binomiale. En préciser les paramètres.

3. Calculer E(N).

4. Combien d'analyses devra-t-on faire en moyenne pour détecter les prélèvements infectés ?

5. Sachant qu'un test coûte 32 euros, calculer le coût de l'analyse si le laboratoire teste les prélèvements un par un et le coût moyen de l'analyse si le laboratoire procède par regroupement. Conclure.

Ce que j'ai réussi :

1. Pour un prélèvement -> la probabilité qu'il soit contaminé est égale à 0.02. Soit 1 - 0.02 = 0.98 de chance qu'il soit sain.
Donc dans un lot de 10 prélèvement, il a 10 chance pour que le lot soit sain, soit 0.98^10.

Ensuite je dois en déduire la probabilité pour le lot soit contaminé en donnant le résultat avec quatre chiffres après la virgule j'ai donc voulu faire 0.02^10 mais je ne pense pas que cela soit ça.

[XENSECP]

Si la proba d'avoir un lot sain est 0.98^10 alors la proba que ce soit contaminé c'est 1 - 0.98^10 :)

[Miss-Emy]

Si la proba d'avoir un lot sain est 0.98^10 alors la proba que ce soit contaminé c'est 1 - 0.98^10

Oki merci beaucoup, effectivement c'est plus logique
Comment dois-je faire pour la question 2 ?

[XENSECP]

Pour chaque lot tu as chance d'être sain.

Voilà loi binomiale de paramètres p et N

[Miss-Emy]

Pour chaque lot tu as chance d'être sain.

Voilà loi binomiale de paramètres p et N

Donc pour ensuite calculer E(N) , on n'a pas le nombre de lots contaminés

[XENSECP]

L'espérance d'une loi binomiale...

[Miss-Emy]

L'espérance d'une loi binomiale...

Donc 0.1829 * 0.98^10 ?

[XENSECP]

C'est quoi 0.1829...?

[Miss-Emy]

la probabilité que le lot soit contaminé

[XENSECP]

la probabilité que le lot soit contaminé

On est pas dans la m**** alors.

Bon par contre il y a eu une petite confusion. N est la loi binomiale de paramètres p (déjà donné) et n = 10.

[Miss-Emy]

On est pas dans la m**** alors.

Bon par contre il y a eu une petite confusion. N est la loi binomiale de paramètres p (déjà donné) et n = 10.

Bah comment je fais alors pour calculer ? On n'a pas N