Une série d'exercices d'entraînement (niveau lycée bien ente

[Timothé Lefebvre]

Salut

Cette fois-ci, pas d'exo d'Olympiade !
Juste quelques barycentres (pour faire plaisir à Dinozzo13) et un peu trigo? Je verrai si j'en rajoute après

Énoncé 1 (trigo) :

Mq on a et que on a

Énoncé 2 (barycentres) :

Mq l'ensemble des barycentres de deux points distincts A et B est la droite (AB).
Mq si les points A,B,C ne sont pas alignés alors tout point du plan est barycentre de ces trois points.

Énoncé 3 (réels) :

Mq la somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est un nombre irrationnel.

Énoncé 4 (système) :

Soit (S) le système suivant, tq et de paramètre a tq :



Indice : étude de cas sur les valeurs possibles de a (choisir quatre cas différents).

Énoncé 5 (polynôme) :

Résoudre dans le polynôme suivant en sachant que la somme de ses racines complexes est égale à sa racine réelle :


Énoncé bonus (proposé par benekire2) (racine nième) :

Soient m et n deux entiers strictement positifs tels que l'on ait :.
Démontrer que ceci est soit entier soit irrationnel.

Énoncé 6 (barycentres, plus difficile) :

Soit et et tq différent de 0.

Etudier la ligne de niveau en fonction du paramètre

Énoncé 7 (système) :

Résoudre le système d'inconnue a et b tq :



Énoncé 8 (système et paramètre) :

Pareil, dans et de paramètre m :



Voilà, amusez-vous bien !

Tim

[oscar]

Bonj0ur
P(x) = x³ -5x² +23x +28 =0
4 est une racine " évidente" de P(x)
P(x) = (x-4) (ax² +bx+c)
On a de suite a =1 et c = 7
Il suffit de déterminer b par identifiation puis calculer les deux qutres racines

[Timothé Lefebvre]

Salut Oscar :)

Tout à fait, 4 est la racine réelle de ce polynôme.
J'ai utilisé un système pour la trouver, puis le polynôme qui découle et que tu évoques. On en extrait les deux racines complexes et on vérifie leur somme.

[Dinozzo13]

(...)Juste quelques barycentres (pour faire plaisir à Dinozzo13)(...)

merci :ptdr: ; les autres ont l'air intéressant aussi ^^

[benekire2]

Enoncé 3:
rationnel : a/b et irrationnel: forme n

on a donc (a+bn)/b

sauf que bn n'est pas élément de Z donc le tout irrationnel. Enfin je pense..

[Timothé Lefebvre]

On a plus simple, par l'absurde.
Posons x ratio et y irratio, z=x+y est ? Et y=z-x est ?

[benekire2]

oui c'est vrai, c'est plus simple :)

[Timothé Lefebvre]

;) J'ai hésité à donner ces exos pour un niveau 1S, qu'en penses-tu (si on enlève l'exercice 5 qui parle des complexes) ?

[benekire2]

j'en conclus que le 5 est quand même de loin le plus simple... même pour des 1s parce que ca ne donne pas lieu à reflexion, sinon ben j'aime bien celui sur les réels.

exo sup:

Soit m et n deux entiers strictement positifs tels qu l'on a:

Démontrer que ceci est soit entier soit irrationnel.

[benekire2]

d'autant que la majorité des élèves ne sont pas familiers des paramétriques...
PS: Celui des bary est quand même cado si on prend le soin de passer par la définition...

[Timothé Lefebvre]

exo sup:

Soit m et n deux entiers strictement positifs tels qu l'on a:

Démontrer que ceci est soit entier soit irrationnel.

Tiens, ça sent le théorème de Gauss
Précisons qu'ici n est différent de 0 alors que m peut être égal à 0

[benekire2]

non c'est très rapide a faire et je vois pas de gauss...

[Timothé Lefebvre]

J'avais fait cette démo à un moment mais je ne remets plus la main dessus, je me rappelle juste qu'il y a du Gauss là-dessous :/
J'essaye de retrouver.

[Timothé Lefebvre]

Bon, finalement voilà j'ai retrouvé ma démo.

Notre problème revient à énoncer les assertions suivantes :



Et



Et



Si alors est une puissance nième parfaite.

Le cas a=1 est impossible.

On suppose a et b entiers supérieurs à 2 d'où rationnel et m puissance entière parfaite.
Réciproquement, si m est une puissance parfait alors est rationnel.

Si m n'est pas une puissance entière parfaite alors irrationnel.

Si tu me dis qu'il y a plus simple je te crois !

En conclusion on a :

puissance nième parfaite.

Si m non puissance nième parfaite alors est irrationnel.

PS : à la réflexion, il y a sans doute plus simple ...

[Timothé Lefebvre]

Dans ma conclusion, l'ensemble de définition de m et n est bien sûr N privé de 0 et 1 mais le slash se barre (ha ha -_-) à chaque fois :/

Je cherche en même temps un autre moyen de faire plus simplement.

[Timothé Lefebvre]

Une autre idée.
Il suffit de montrer que est entier s'il est rationnel.

On pose un raisonnement par l'absurde sur rationnel et non-entier.
On a alors et comme non-entier on a b > 1.

On utilise alors la troisième assertion de mon message précédent.
En posant un x premier, si x divise alors il divise aussi a.

De là, on doit pouvoir conclure avec Gauss sur une absurdité avec la valeur de b.

A creuser.

[benekire2]

C'est ca , soit c'est irrationnel soit c'est rationnel et il faut montrer que c'est entier. on pose effectivement a/b et ça se fait très rapidement.

[Timothé Lefebvre]

Celui des bary est quand même cado si on prend le soin de passer par la définition...

Tu as raison, j'ai été beaucoup trop sympa avec vous :zen: :lol2:

Énoncé 6 (barycentres) :

Soit et et tq différent de 0.

Etudier la ligne de niveau en fonction du paramètre

[Timothé Lefebvre]

C'est ca , soit c'est irrationnel soit c'est rationnel et il faut montrer que c'est entier. on pose effectivement a/b et ça se fait très rapidement.

Yep, je me suis embarqué trop loin sur mon premier post.

[Dinozzo13]

Énoncé 6 (barycentres) :

Soit et et tq différent de 0.

Etudier la ligne de niveau en fonction du paramètre

Celui là me plait beaucoup ^^. Il faut utiliser le produit scalaire là, non ?