Exercice Polynôme

par **Maxime.Coiscaud** » 01 Fév 2013, 15:29

[CENTER]Bonjour à tous,[/CENTER]
J'ai un exercice à faire, et j'ai un petit souci, c'est le suivant :
J'ai la fonction f de variable réelle définie sur ]0,Pi[, f(x) = 1/sin(x).

La question est la suivante : je ne sais pas comment montrer que pour tout entier naturel n, il existe un polynôme Pn à coéfficients réels tel que pour tout x dans ]0,Pi[, F^(n)(x) = (Pn cosx)/(sin^(n+1)x).

Je vous remercie d'avance, pour une petite explication, qui serai la bienvenu .
J'ai déterminer au préalable la première dérivée et la seconde dérivée de f(x)= 1/sinx

[CENTER]Coordialement,[/CENTER] [CENTER]Maxime.[/CENTER]

par **Nightmare** » 01 Fév 2013, 15:31

Salut,

essaye par récurrence.

par **chan79** » 01 Fév 2013, 15:32

Maxime.Coiscaud a écrit:[CENTER]Bonjour à tous,[/CENTER]
J'ai un exercice à faire, et j'ai un petit souci, c'est le suivant :
J'ai la fonction f de variable réelle définie sur ]0,Pi[, f(x) = 1/sin(x).

La question est la suivante : je ne sais pas comment montrer que pour tout entier naturel n, il existe un polynôme Pn à coéfficients réels tel que pour tout x dans ]0,Pi[, F^(n)(x) = (Pn cosx)/(sin^(n+1)x).

Je vous remercie d'avance, pour une petite explication, qui serai la bienvenu .
J'ai déterminer au préalable la première dérivée et la seconde dérivée de f(x)= 1/sinx

[CENTER]Coordialement,[/CENTER] [CENTER]Maxime.[/CENTER]

Salut
Tu as essayé par récurrence ?

par **XENSECP** » 01 Fév 2013, 15:35

Salut,

Tu peux essayer de faire les premiers rangs et ensuite prouver ton hypothèse par récurrence...

par **Maxime.Coiscaud** » 01 Fév 2013, 18:45

Ah oui, je pense avoir réussi,
pensez vous que cette question est nécéssaire pour déterminer P(n+1) en fonction de P(n) ?

Encore merci à vous.

par **XENSECP** » 01 Fév 2013, 19:39

Perso je suis pas fan des gens qui mettent un bout de leur exo sans contexte car c'est difficile à aiguiller (oui oui l'exo est construit d'une certaine façon et c'est important!).

par **Maxime.Coiscaud** » 01 Fév 2013, 20:24

Je suis désolé, je m'en excuse.

J'ai donc la fonction f de variable réelle définie sur ]0,Pi[, f(x) = 1/sin(x).

J'ai déjà montré que f était dérivable et j'ai déterminé les 2 premières dérivées de la fonction . J'ai ensuite démontrer qu'il existe un polynôme Pn à coéfficients réels tel que pour tout x dans ]0,Pi[, F^(n)(x) = (Pn cosx)/(sin^(n+1)x).

Je dois maintenant déterminer une relation entre P(n+1) et P(n) , et donc je me demande si il faut se servir de l'expression précédente ou pas .

Encore désolé de mon incohérence.

Coordialement.

par **XENSECP** » 01 Fév 2013, 20:42

Oui démontrer qu'il existe un polynôme n'est pas pareil que partir sur la récurrence Pn+1 en fonction de Pn...

Mais oui c'est clair qu'à partir de l'expression de

tu en déduis

et donc une expression de

en fonction de

par **chan79** » 01 Fév 2013, 20:43

XENSECP a écrit:Perso je suis pas fan des gens qui mettent un bout de leur exo sans contexte car c'est difficile à aiguiller (oui oui l'exo est construit d'une certaine façon et c'est important!).

Je suis d'accord avec ça.
Evidemment, on peut poser

et exprimer les

en fonction des coefficients du rang n mais le calcul est fastidieux.
A tout hasard

...
Des exposants alternativement pairs et impairs ...

[img][IMG]http://img26.imageshack.us/img26/2537/62722222.gif[/img]

par **Maxime.Coiscaud** » 01 Fév 2013, 21:23

Je vous ennuis surement,

mais comment avez vous fait pour trouver P1(x) , ... .

Je suis désolé de vous dérangez, probablement pour des trucs assez simple ..

par **chan79** » 01 Fév 2013, 21:31

Maxime.Coiscaud a écrit:Je vous ennuis surement,

mais comment avez vous fait pour trouver P1(x) , ... .

Je suis désolé de vous dérangez, probablement pour des trucs assez simple ..

dérive f(x) ensuite tu fais fonctionner la récurrence

par **Maxime.Coiscaud** » 02 Fév 2013, 08:09

F'(x) = -cos(x) / sin²(x)
F''(x) = {sin^3(x) - 2cos²(x)sin(x)} / sin^4(x)

Je ne suis pas sur de la deuxieme ..

par **chan79** » 02 Fév 2013, 08:37

Maxime.Coiscaud a écrit:F'(x) = -cos(x) / sin²(x)
F''(x) = {sin^3(x) - 2cos²(x)sin(x)} / sin^4(x)

Je ne suis pas sur de la deuxieme ..

pour F" c'est + au numérateur
tu factorises x au numérateur et tu le simplifies
tu remplaces sin²x par 1-cos²x

par **Maxime.Coiscaud** » 02 Fév 2013, 09:09

D'accord je vais rectifier ça alors, et donc apres je sors P(n) et P(n+1) des expréssions de F(n) et F(n+1)?
Ou alors P(n) = F(P(n+1)) ?,

Ou aucun des deux .. !

par **chan79** » 02 Fév 2013, 09:38

Maxime.Coiscaud a écrit:D'accord je vais rectifier ça alors, et donc apres je sors P(n) et P(n+1) des expréssions de F(n) et F(n+1)?
Ou alors P(n) = F(P(n+1)) ?,

Ou aucun des deux .. !

Pourrais-tu écrire l'intégralité de l'énoncé ?

par **Maxime.Coiscaud** » 02 Fév 2013, 10:19

Soit la fonction f de variable réelle définie par :
Pour tout x dans ]0,Pi[, f(x) = 1/ sin(x).

*Justifions que f est deux fois dérivables et déterminer f' et f'' . ( Ceci est fait).
*Montrer que pour tout entier naturel n, il existe un polynôme Pn à coéfficients réels tel que pour tout x dans ]0,Pi[, F^(n)(x) = (Pn cosx)/(sin^(n+1)x). (Récurrence que vous m'avez indiqué).

*Soit n dans N, établissons une relation entre P(n) et P(n+1) .

Je vous remercie beaucoup de votre compréhension !

par **chan79** » 02 Fév 2013, 10:43

Maxime.Coiscaud a écrit:Soit la fonction f de variable réelle définie par :
Pour tout x dans ]0,Pi[, f(x) = 1/ sin(x).

*Justifions que f est deux fois dérivables et déterminer f' et f'' . ( Ceci est fait).
*Montrer que pour tout entier naturel n, il existe un polynôme Pn à coéfficients réels tel que pour tout x dans ]0,Pi[, F^(n)(x) = (Pn cosx)/(sin^(n+1)x). (Récurrence que vous m'avez indiqué).

*Soit n dans N, établissons une relation entre P(n) et P(n+1) .

Je vous remercie beaucoup de votre compréhension !

F^(n)(x) = (Pn cosx)/(sin^(n+1)x).
je suppose que c'est

on peut faire une récurrence sur les coefficients de

en fonction de ceux de

par **Maxime.Coiscaud** » 02 Fév 2013, 10:55

Oui c'est tout à fait cà.
D'accord, je vais éssayer tout çà.

par **Maxime.Coiscaud** » 03 Fév 2013, 15:48

Vous avez tapé quoi dans votre tableur pour trouver toutes ces données .. ?

par **chan79** » 03 Fév 2013, 20:44

Maxime.Coiscaud a écrit:Vous avez tapé quoi dans votre tableur pour trouver toutes ces données .. ?

pour 1<=k<=n-1

Exercice Polynôme

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