Dérivée

[Alexandrat22]

Bonjour. J'ai une fonction f à dérivée, mais je n'y arrive pas.

Soit f la fonction définie sur [0 ; +00[ par :


Je vois que c'est de la forme
avec u= et u'=
v= et v'=

On à donc f'(x) =
Ensuite je suis bloquée pour développer.
Est-ce que c'est f'(x)= ?

Merci de m'aider.

[sylvainp]

Salut,
u est aussi de la forme u*v avec u=x et v=exp(-x), tu as donc (uv)'=u'v+v'u

[Alexandrat22]

Ok je vais donc essayer de refaire la dérivée avec cet élément. Merci

[Alexandrat22]

J'obtiens donc

=

=

Ensuite est-ce que je met cette fraction sous la forme ?

[sylvainp]

Attention, comme tu l'avais dit dans ton premier message, ta fonction est de la forme u/v ! ton raisonnement pour calculer la dérivée d'un quotient était donc correct : (u/v)'= (u'v-v'u)/v².

Par contre, c'est un peu compliqué car u au numérateur est un produit de fonction u=U*V, donc la dérivée u' se calcule u'=U'V+V'U , c'est ce que je veux indiquer dans mon premier message.

U=x
V=exp(-x)

u=U*V=x*exp(-x)
v=x²+1

[Alexandrat22]

Attention, comme tu l'avais dit dans ton premier message, ta fonction est de la forme u/v ! ton raisonnement pour calculer la dérivée d'un quotient était donc correct : (u/v)'= (u'v-v'u)/v².

Par contre, c'est un peu compliqué car u au numérateur est un produit de fonction u=U*V, donc la dérivée u' se calcule u'=U'V+V'U , c'est ce que je veux indiquer dans mon premier message.

U=x
V=exp(-x)

u=U*V=x*exp(-x)
v=x²+1

On à donc si j'ai bien compris : u= et u'= =
v= et v'=
J'obtiens donc f'(x) =
f'(x) =
C'est bien ça ? car je ne suis pas sur de ma dernière dérivation de f.

[sylvainp]

Il reste une petite erreur dans le calcul de u'=U'V+V'U
U'=1
V=exp(-x)
U=x
V'=-exp(-x)
donc u'=exp(-x)-x*exp(-x)

et non pas u'=x comme tu trouves

[Alexandrat22]

Il reste une petite erreur dans le calcul de u'=U'V+V'U
U'=1
V=exp(-x)
U=x
V'=-exp(-x)
donc u'=exp(-x)-x*exp(-x)

et non pas u'=x comme tu trouves

Ah oui j'ai fais une erreur.
Du coup on à : f'(x)= ?

[sylvainp]

Ouais parfait!

[Alexandrat22]

Ouais parfait!

Par contre je ne sais pas trop comment m'y prendre pour développer

[sylvainp]

tu peux factoriser par exp(-x) au numérateur, ça fait exp(-x)(1-x-x²-x^3) au numérateur si je me suis pas trompé

[Alexandrat22]

Par contre je ne sais pas trop comment m'y prendre pour développer

Est-ce qu'en développent en obtient :
f'(x) = ?

[Alexandrat22]

Je vais essayer de factoriser alors

[Alexandrat22]

Est-ce qu'en développent en obtient :
f'(x) = ?

Lorsque je factorise par avec le développement que j'ai fais au dessus, j'obtiens pour le numérateur :
J'ai du faire une erreur mais je ne voie pas où.

[sylvainp]

l'erreur est dans le calcul de -(x(exp(-x))*2x ça fait pas -3x*exp(-x) mais -2x²*exp(-x) tu retrouves le résultats que j'ai écrit un peu avant

[Alexandrat22]

l'erreur est dans le calcul de -(x(exp(-x))*2x ça fait pas -3x*exp(-x) mais -2x²*exp(-x) tu retrouves le résultats que j'ai écrit un peu avant

Ah oui d'accord. Et une fois factorisée, on obtient mais le calcul n'est pas fini là ? Je ne voie pas se qu'il faut faire pour poursuivre le calcul.

[sylvainp]

Non tu ne peux pas aller plus loin, et le résultat est plutôt lisible comme ça.

[Alexandrat22]

Non tu ne peux pas aller plus loin, et le résultat est plutôt lisible comme ça.

D'accord, merci beaucoup de votre aide