Arithmétique

[gally]

Bonjour,
J'essaye de faire ces deux exercices :
– Exercice 1
1. À quoi reconnaissez-vous qu’un entier écrit en base 10 est divisible par
2 ? Par 5 ? Par 3 ? Par 9 ? Expliquez le résultat en termes de congruences
modulo 2,5,3,9.
2. Montrer qu’un entier dont l’écriture en base 10 est a de m-1...a1a0 est divisible
par 11 si et seulement si a0 - a1 + a2 +


+ (-1)^(m-1) = 0 mod 11.
3. Sans utiliser de calculatrice et sans poser de division, établir une règle de
divisibilité par 101 et montrer que 478775514327 est divisible par 101.
4. Trouver un critère permettant de savoir simplement si un entier dont l’écriture en base 2 est a de m-1...a1a0 est divisible par 7. L’entier 101101010110111
est-il divisible par 7 ?

– Exercice 3. Montrer que pour tout entier n, n(n²-1) est divisible par 6 :
ramenez-vous à l’examen d’un nombre ni d’entiers.

Pour l'exercice 1, j'ai fait la 1) et la 2) mais je ne vois pas le rapport avec la 3) et la 4)
J'ai a0+10a2+100a3+...+a de m-1=0 mod 101
soit a0+10a2+100a3-10a4+...+ 10^(m-1) a de m-1= 0 mod 101

Pour l'exercice 2 j'ai développé donc j'ai n(n-1)(n+1)=6k
jai aussi fait comme l'exercice 1, j'obtient a0+4a1+4a2+....+4a de n-1=0 mod 6 mais je n'arrive pas à trouver le rapport entre les deux.

Merci d'avance
Cordialement
Gally

[chan79]

Bonjour,
J'essaye de faire ces deux exercices :
– Exercice 1
1. À quoi reconnaissez-vous qu’un entier écrit en base 10 est divisible par
2 ? Par 5 ? Par 3 ? Par 9 ? Expliquez le résultat en termes de congruences
modulo 2,5,3,9.
2. Montrer qu’un entier dont l’écriture en base 10 est a de m-1...a1a0 est divisible
par 11 si et seulement si a0 - a1 + a2 +


+ (-1)^(m-1) = 0 mod 11.
3. Sans utiliser de calculatrice et sans poser de division, établir une règle de
divisibilité par 101 et montrer que 478775514327 est divisible par 101.
4. Trouver un critère permettant de savoir simplement si un entier dont l’écriture en base 2 est a de m-1...a1a0 est divisible par 7. L’entier 101101010110111
est-il divisible par 7 ?

– Exercice 3. Montrer que pour tout entier n, n(n²-1) est divisible par 6 :
ramenez-vous à l’examen d’un nombre ni d’entiers.

Pour l'exercice 1, j'ai fait la 1) et la 2) mais je ne vois pas le rapport avec la 3) et la 4)
J'ai a0+10a2+100a3+...+a de m-1=0 mod 101
soit a0+10a2+100a3-10a4+...+ 10^(m-1) a de m-1= 0 mod 101

Pour l'exercice 2 j'ai développé donc j'ai n(n-1)(n+1)=6k
jai aussi fait comme l'exercice 1, j'obtient a0+4a1+4a2+....+4a de n-1=0 mod 6 mais je n'arrive pas à trouver le rapport entre les deux.

Merci d'avance
Cordialement
Gally

salut
100 est congru à -1 (mod 101)
10000 est congru à 1 (mod 101)
1000000 est congru à -1 (mod 101)
essaie avec des tranches de deux chiffres à partir de la droite

pour le 4, juste un indication

factorise

[gally]

salut
100 est congru à -1 (mod 101)
10000 est congru à 1 (mod 101)
1000000 est congru à -1 (mod 101)
essaie avec des tranches de deux chiffres à partir de la droite

pour le 4, juste un indication

factorise

Merci, j'ai réussi à faire la question 3). On a toujours (1,10,-1,-10) donc on a 7+ 2x10 -3 -4x10 +1+5x10 etc et on trouve 0 donc le nombre est bien divisible par 101.

Par contre pour la question 4) je ne vois pas trop. On a a0+ 2a1 + 2^2a2+a3+2a4+2^2a5+a6+..+2^n-1a de n-1 = 0(7) Mais je ne vois pas comment continuer!
Merci d'avance

[gally]

J'ai un autre exercice d'arithmétique où j'ai un problème :

Un générateur linéaire congruentiel de la forme xi+1 = axi + b mod n produit la suite
d’entiers : x0 = 47; x1 = 93; 32; 116; 73; 15; 123; 129; 34; 132; 58; 38; 21...
Il s’agit de reconstituer le générateur, c’est-à-dire les entiers a; b; n.
1. Former les premiers termes de la suite dérivée soit x0'=x1-x0 x1'=x2-x1 x2'=x3-x2 etc
2. Qu'elle relation a-t-on entre x'i et x'i+1?

3. Montrer que si ux1' + vx2'=1 alors ux2' + vx3'= a mod n
3 = a mod n
4. En déduire un représentant entier de a mod n.
5. En déduire un représentant entier de b mod n.
6. En déduire n.
J'ai fait les questions 1,2 et 3. J'arrive à u84 + (-43)v = a mod n après je trouve u=21 et v=-41 mais je ne sais pas comment continuer vu que j'ai considérer que a était égal à 1 pour le faire, j'ai résolu u84 + (-43)v = 1.

Merci d'avance

[chan79]

Pour l'exercice 2 j'ai développé donc j'ai n(n-1)(n+1)=6k
jai aussi fait comme l'exercice 1, j'obtient a0+4a1+4a2+....+4a de n-1=0 mod 6 mais je n'arrive pas à trouver le rapport entre les deux.

(n-1)n(n+1) est le produit de 3 entiers consécutifs
il y en a un des trois (au moins) qui est divisible par 2
il y en a un qui est divisible par 3
donc...

[chan79]

salut
100 est congru à -1 (mod 101)
10000 est congru à 1 (mod 101)
1000000 est congru à -1 (mod 101)
essaie avec des tranches de deux chiffres à partir de la droite

pour le 4, juste un indication

factorise

pour 478775514327
100=-1 (101)
4300=-43 (101)
10000=1 (101)
510000=51 (101)
on sépare le nombre en tranches de 2 à partir de la droite et on met les signes + ou - en alternant
et on fait la somme algébrique
47 87 75 51 43 27
-47+87-75+51-43+27
la somme est 0 donc le nombre est divisible par 101
2591458 est aussi divisible 101 car 58-14+59-2=101

[chan79]

salut
100 est congru à -1 (mod 101)
10000 est congru à 1 (mod 101)
1000000 est congru à -1 (mod 101)
essaie avec des tranches de deux chiffres à partir de la droite

pour le 4, juste un indication

factorise

le nombre (en base 2) 1000 fait 8 = 1 (7)
le nombre (en base 2) 1000000 fait 2^6= 1 (t)
montre que 2^(3k) =1 (7)
101 101 010 110 111
on sépare par groupes de 3 à partir de la droite
on ajoute:
les chiffres de droite de chaque groupe (soit 3)
les chiffres du milieu, et on double le résultat (soit 6)
les chiffres de gauche et on multiplie le résultat par 4 (soit 16)
3+6+16=25 qui n'est pas divisible par 7 donc le nombre proposé ne l'est pas
autre exemple
100011000111000
100 011 000 111 000
2+4+8=14 = 0 (7) donc le nombre est divisible par 7
il y a probablement mieux comme méthode

[gally]

pour 478775514327
100=-1 (101)
4300=-43 (101)
10000=1 (101)
510000=51 (101)
on sépare le nombre en tranches de 2 à partir de la droite et on met les signes + ou - en alternant
et on fait la somme algébrique
47 87 75 51 43 27
-47+87-75+51-43+27
la somme est 0 donc le nombre est divisible par 101
2591458 est aussi divisible 101 car 58-14+59-2=101

Pourquoi séparer le nombre en tranche de 2?

le nombre (en base 2) 1000 fait 8 = 1 (7) le nombre (en base 2) 1000000 fait 2^6= 1 (t) montre que 2^(3k) =1 (7) 101 101 010 110 111 on sépare par groupes de 3 à partir de la droite on ajoute: les chiffres de droite de chaque groupe (soit 3) les chiffres du milieu, et on double le résultat (soit 6) les chiffres de gauche et on multiplie le résultat par 4 (soit 16) 3+6+16=25 qui n'est pas divisible par 7 donc le nombre proposé ne l'est pas autre exemple 100011000111000 100 011 000 111 000 2+4+8=14 = 0 (7) donc le nombre est divisible par 7 il y a probablement mieux comme méthode

Pour séparer ici le nombre en tranche de 3 ?

Merci d'avance

[gally]

Moi je n'ai pas séparé le nombre pour 47 87 75 51 43 27 mod 101 jai vu que que l'on avait 100 = -1 (101) , 1000 = -10 (101) , 10000 = 1 (101), 100000 = 10 (101) et apres -1, -10, 1 , 10 (101)
Donc j'ai fait:
7 + 2x10 - 3 -4x10 +1 + 5x10 - 5 -10x7 + 7+ 10x8 + 7x-1 + 4x-10 et ca fait bien 0 donc c'est divisible par 101. C'est faux?

[chan79]

Moi je n'ai pas séparé le nombre pour 47 87 75 51 43 27 mod 101 jai vu que que l'on avait 100 = -1 (101) , 1000 = -10 (101) , 10000 = 1 (101), 100000 = 10 (101) et apres -1, -10, 1 , 10 (101)
Donc j'ai fait:
7 + 2x10 - 3 -4x10 +1 + 5x10 - 5 -10x7 + 7+ 10x8 + 7x-1 + 4x-10 et ca fait bien 0 donc c'est divisible par 101. C'est faux?

c'est bon
ça revient au même: que l'on dise 27 ou 7+2*10 c'est pareil

[chan79]

Pourquoi séparer le nombre en tranche de 2?



Pour séparer ici le nombre en tranche de 3 ?

Merci d'avance

si on prend le nombre en base2: 10101001010100
il est égal à la somme des 5 nombres:
10 000 000 000 000
101 000 000 000
1 000 000
10 000
100

or 1 000 en base 2 fait 8 en base 10 donc il est égal à 1 (7)
de même pour 1000000 etc
il suffit de considérer
010+101+001+010+100
on ajoute les chiffres de droite
on ajoute les chiffres du milieu et on multiplie par 2 car 2^1=2
on ajoute les chiffres de gauche et on multiplie par 4 car 2^2=4
en tout ça fait: 2+2*2+2*4=14 donc le nombre est divisible par 7
je répète qu'il y a sans doute mieux que cette méthode ???