DM de maths espaces vectoriels merci!

[dasilvaeva]

bonjour j'ai besoin d'aide pour un dm je n'ai pas le cours etant donné que j'etais malade. Merci d'avance.


1. Soit R² muni de l'addition usuelle. (R²,+) groupe commutatif.
(a) on considere l'operation externe suivante: R x R²-->R²
(a,(x,y))--> a.(x,y) = (ax,0)

(R²,+,.) est il un R-espace vectoriel?

(b) Meme question si l'operation externe est: R x R²-->R²
(a,(x,y))--> a.(x,y) = (x,a²y)

2. Soit H = { a+(b sqrt2) ; (a,b) appartenant à Q²}
(a) Montrer que (H,+) est un groupe commutatif.
(b) Montrer que pour tout u appartenant à Q, pour tout x appartenant à H, ux appartient à H.
(c) H est il un Q-espace vectoriel?
(d) Peut-on munir H d'une operation externe R telle que H soit un R-espace vectoriel?

3. On considere R² muni de l'addition usuelle et de l'operation externe sur C definie par:
( a + ib )( x, y) = (ax - by, ay + bx), (a,b) appartenant à R²
Montrer que R² est ainsi muni d'une structure de C-espace vectoriel.

[Manny06]

bonjour j'ai besoin d'aide pour un dm je n'ai pas le cours etant donné que j'etais malade. Merci d'avance.


1. Soit R² muni de l'addition usuelle. (R²,+) groupe commutatif.
(a) on considere l'operation externe suivante: R x R²-->R²
(a,(x,y))--> a.(x,y) = (ax,0)

(R²,+,.) est il un R-espace vectoriel?

(b) Meme question si l'operation externe est: R x R²-->R²
(a,(x,y))--> a.(x,y) = (x,a²y)

2. Soit H = { a+(b sqrt2) ; (a,b) appartenant à Q²}
(a) Montrer que (H,+) est un groupe commutatif.
(b) Montrer que pour tout u appartenant à Q, pour tout x appartenant à H, ux appartient à H.
(c) H est il un Q-espace vectoriel?
(d) Peut-on munir H d'une operation externe R telle que H soit un R-espace vectoriel?

3. On considere R² muni de l'addition usuelle et de l'operation externe sur C definie par:
( a + ib )( x, y) = (ax - by, ay + bx), (a,b) appartenant à R²
Montrer que R² est ainsi muni d'une structure de C-espace vectoriel.

pour le premier
la propriété de la loi externe
pour tout u€R² 1.u=u n'est pas vérifiée
en effet 1.(x,y)=(x,0) # de (x,y) si y#0

pour le 2)
la propriété pour tout u€R² pour tout a€R pour tout b€R (a+b).u=a.u+b.u n'est pas verifiée
en effet (a+b).(x,y)=(x,(a+b)²y)
a.(x,y)+b.(x,y) = (x,a²y)+(x,b²y) =(2x,(a²+b²)y)

[geegee]

Bonjour,

http://fr.wikiversity.org/wiki/Espace_vectoriel/Exercices/Espaces_et_sous-espaces_vectoriels