Exo espaces vectoriels

[benjilbos]

Bonjour. Soit K un corps, E un K-ev, f endomorphisme de E. On note H un supplementaire de Ker(f) dans E et G un supplementaire de Im(f) dans E.

1)montrer que g:H-->Im(f) x--> f(x) est un isomorphisme lineaire.
j'ai montré que g est bien défini et linéaire, je bloque sur la bijectivité(injectif plus surjectif).Il faut aussi montrer que pour x ds E, il existe un unique(y,z) de G*H tq x= y+f(z)(le faire par analyse synthèse?).

2)On note g l'application de E ds E qui a x associe cet unique z(de l'écriture precedente).déterminer le noyau et l'image de g(je n'ai pas d'idéees, surtout pour Im(g).
Merci

[alm]

Salut

Bonjour. Soit K un corps, E un K-ev, f endomorphisme de E. On note H un supplementaire de Ker(f) dans E et G un supplementaire de Im(f) dans E.

1)montrer que g:H-->Im(f) x--> f(x) est un isomorphisme lineaire.
j'ai montré que g est bien défini et linéaire, je bloque sur la bijectivité(injectif plus subjectif).Il faut aussi montrer que pour x ds E, il existe un unique(y,z) de G*H tq x= y+f(z)(le faire par analyse synthèse?).

2)On note h l'application de E ds E qui a x associe cet unique z(de l'écriture precedente).déterminer le noyau et l'image de h(je n'ai pas d'idéees, surtout pour Im(h).
Merci

c'est 'surjectif' et non pas 'subjectif'
H au lieu de h (1ere ligne)

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pour montrer que g est injectif il suffit que tu montres que si et alors et ça tu peux le faire si tu traduit à l'appartenance au noyau d'une application linéaire (autre que g) .... et tu utilise une prpriété des sous-espaces supplémentaires ....

Pour montrer que g est surjective tu prend y \in Im f donc il existe tq Tu décompose x suivant H et ... et tu verras

[alm]

si y+f(z)=y' + f(z') avec y,y' \in G et alors tu as mais f(z'-z) est dans Im f donc ....tu dois pouvoir conclure que f(z'-z)=0 ce qui signifie or donc .... et par suite ... et
Cela montre l'unicité***

l'existence

soit
tu le décompose suivant et ,
et

or avec et
tu pose et et tu verras ...

[alm]

2) Je préfére lui donner un autre nom, par exemple (car est déjà pris)

Qu'est ce que c'est que ?

Tout simplement donc donx est dans ?

Reciproquement si est dans .... et l'unicité te donnent d'où


Fin

[benjilbos]

Merci . En fait ker(h)= G c'est ca? Sinon comment trouver Im(h)?

[alm]

Merci . En fait ker(h)= G c'est ca? Sinon comment trouver Im(h)?

oui

Désolé, je n'avais pas vu ce boùt de la question.

C'est facile car déjà il est clair que

Or si alors est un antécédant de car en posant on a : avec et