Polynome complexes

[rorpfo]

Bonjour/bonsoir

Je viens a vous car j’essaie de vain de résoudre un exercice .. qui pourtant me parait forcément bien dur, il doit y avoir une logique que je n'arrive pas a attraper

Alors voila

Soit P, le polynome par P(z) = z^3 + 2iz² - (20 + 12i)z - 48 + 176i

1. On pose z = iy . Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de P(iy). En déduire la valeur du réél Y tel que P(iy) = 0

2. Factoriser P(z) puis résoudre P(z) = 0

____________________________________________________________

Bon en fait, j'ai fais la 1ere partie de la 1ere question .. pas de problèmes, on arrive a (sauf erreur de calcul mais bon) :
P(iy) = 12 y - 48 + i (-y^3 -2y² -20y +176)

Et maintenant pour définir la valeur de Y .. je vois pas du tout comment m'y prendre
j dirais bien que pour le debut faut poser quelque chose comme Y = -y^3 -2y² -20y +176 .. mais la aussi je ne vois pas comment partir de la

Si quelqu'un pouvait essayer de me guider s'il vous plait

Merci d'avance

[Maxmau]

Bonjour/bonsoir

Je viens a vous car j’essaie de vain de résoudre un exercice .. qui pourtant me parait forcément bien dur, il doit y avoir une logique que je n'arrive pas a attraper

Alors voila

Soit P, le polynome par P(z) = z^3 + 2iz² - (20 + 12i)z - 48 + 176i

1. On pose z = iy . Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de P(iy). En déduire la valeur du réél Y tel que P(iy) = 0

2. Factoriser P(z) puis résoudre P(z) = 0

____________________________________________________________

Bon en fait, j'ai fais la 1ere partie de la 1ere question .. pas de problèmes, on arrive a (sauf erreur de calcul mais bon) :
P(iy) = 12 y - 48 + i (-y^3 -2y² -20y +176)

Et maintenant pour définir la valeur de Y .. je vois pas du tout comment m'y prendre
j dirais bien que pour le debut faut poser quelque chose comme Y = -y^3 -2y² -20y +176 .. mais la aussi je ne vois pas comment partir de la

Si quelqu'un pouvait essayer de me guider s'il vous plait

Merci d'avance

BJ
Un complexe est nul ss sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles

[rorpfo]

Donc soit :

12 y - 48 = 0
et
-y^3 -2y² -20y +176 =0

Donc,
y = 48/12 = 4
La réponse serait si simple ?

[Maxmau]

Donc soit :

12 y - 48 = 0
et
-y^3 -2y² -20y +176 =0

Donc,
y = 48/12 = 4
La réponse serait si simple ?

ben oui..............

[rorpfo]

D'accord .. le prof nous avaient pas donné cette règle .. puis je m'en souvenais plus non plus, pour le coup je l'oublierais plus, parce que je me suis pris la tête dessus un moment


Maintenant la 2eme question, donc on repasse sur P(z), et il faut factoriser .. par rapport a la 2eme partie de la question ==> P(z) =o
je me laisse dire qu'il va de nouveaux falloir utiliser la règle que tu m a dite avant

P(z) = z^3 + 2iz² - (20 + 12i)z - 48 + 176i

En l’occurrence, factoriser par "z", je n'en vois pas l’intérêt, faut il que je remplace Z par un complexe a+jb ?

[Maxmau]

D'accord .. le prof nous avaient pas donné cette règle .. puis je m'en souvenais plus non plus, pour le coup je l'oublierais plus, parce que je me suis pris la tête dessus un moment


Maintenant la 2eme question, donc on repasse sur P(z), et il faut factoriser .. par rapport a la 2eme partie de la question ==> P(z) =o
je me laisse dire qu'il va de nouveaux falloir utiliser la règle que tu m a dite avant

P(z) = z^3 + 2iz² - (20 + 12i)z - 48 + 176i

En l’occurrence, factoriser par "z", je n'en vois pas l’intérêt, faut il que je remplace Z par un complexe a+jb ?

P(4i) =0 d'après ce qui précède donc on peut mettre (z -4i) en facteur dans le polynôme P(z)
P(z) = (z - 4i)(...........?............)

[rorpfo]

P(4i) =0 d'après ce qui précède donc on peut mettre (z -4i) en facteur dans le polynôme P(z)
P(z) = (z - 4i)(...........?............)

D'accord, j'essayerais, même si comme ca je vois pas comment je vais faire pour sortir le facteur commun (z-4i) des différents termes ..

Je pars en déplacement a cause boulot (je suis en bts électrotechnique par alternance) et je n'aurais pas accés a internet

Donc je posterais (ou alors faut il que j'edit pour eviter les doubles posts ?) vendredi prochain, en espérant avoir trouvé

Bonne semaine, et encore merci pour ton aide

[Maxmau]

P(4i) =0 d'après ce qui précède donc on peut mettre (z -4i) en facteur dans le polynôme P(z)
P(z) = (z - 4i)(...........?............)

P(z) est de la forme P(z) = (z-4i)(z²+bz+c)
tu détermines b et c en procédant par identification

[rorpfo]

Bonjour, désolé, j'ai pas pu répondre hier comme j'avais dis avant, alors :

P(z) = (z-4i)(z²+bz+c)
P(z) = z^3 + bz² + cz - 4iz² - 4ibz - 4ic
P(z) = z^3 + z²(b-4i) + z(c-4ib) - 4ic

On retombe sous la forme de P(z) qui suit :
P(z) = z^3 + 2iz² - (20 + 12i)z - 48 + 176i

Donc par analogie :
176i = - 4ic = - 44*4i ===> donc c = - 44
z²(b-4i) = 2iz² ==> b-4i = 2i donc b = 6i

Ce qui nous ferait que :
P(z) = (z-4i)(z²+6iz-44)[/B]

Hors, si on développe cette dernière, on tombe sur :
P(z) = z^3 + 6iz² - 44z -4iz² + 24z +176i
= z^3 + z²( 6i -4i) + z (24-44) +176i
=z^3 + 2iz² + z (24 - 44) +176i

Ce qui ne correspond pas exactement avec P(z) = z^3 + 2iz² - (20 + 12i)z - 48 + 176i

Je dois faire un erreur, j'ai beau avoir refait ces calculs plusieurs fois, je ne la trouve pas