Derivée

[LoveLullaby]

Bonjour !
J'ai un devoir maison a faire mais je bloque sur un exercice :cry:

Soit f(x)= x-1/x
Donner le taux d'accroissement entre 1 et 1+h
Deduisez en que f est dérivable en 1 et calculer f'(1)

pour le taux d'accroissement j'ai fait :

f(1+h) - f(1) / h
= (1+h) - (1/(1+h)) - 1 - 1/1 le tout sur h
= ((1+h)² - 1 / (1+h)) - 1 -1 le tout sur h
= (1 + 2h + h² -1)/ (1+h) - 2 le tout sur h

et là je sais plus quoi faire :soupir2:

Merci de votre aide.

[titine]

Bonjour !
J'ai un devoir maison a faire mais je bloque sur un exercice

Soit f(x)= x-1/x
Donner le taux d'accroissement entre 1 et 1+h
Deduisez en que f est dérivable en 1 et calculer f'(1)

pour le taux d'accroissement j'ai fait :

f(1+h) - f(1) / h
= (1+h) - (1/(1+h)) - (1 - 1/1) le tout sur h
= ((1+h)² - 1 / (1+h)) - 0 le tout sur h (attention f(1)=0)
= (1 + 2h + h² -1)/ (1+h) - 0 le tout sur h

[f(1+h) - f(1)]/h = [(h² + 2h)/(1+h)]/h
= (h² + 2h)/(1+h) * 1/h
= [h(h+2)]/[h(1+h)]
On simplifie par h :
[f(1+h) - f(1)]/h = (h+2)/(1+h)

[LoveLullaby]

[f(1+h) - f(1)]/h = [(h² + 2h)/(1+h)]/h
= (h² + 2h)/(1+h) * 1/h
= [h(h+2)]/[h(1+h)]
On simplifie par h :
[f(1+h) - f(1)]/h = (h+2)/(1+h)

Ah j'ai compris merci beaucoup ! Mais pour la deuxième question je n'ai pas compris ce qu'il faut déduire...

[titine]

Regarde ton cours.
Quand est ce qu'une fonction f est dérivable en 1 ? Quelle est la définition de f'(1) ?

[LoveLullaby]

Lorsque h tend vers 0 ?

[titine]

Lorsque h tend vers 0 ?

?????????????????

Recopie ce qui est écrit dans ton cours :
f est dérivable en ... si .....................................................

[LoveLullaby]

?????????????????

Recopie ce qui est écrit dans ton cours :
f est dérivable en ... si .....................................................

f est dérivable en x0 si et ssi il existe un réel

[titine]

f est dérivable en x0 si et ssi il existe un réel

????????????????
Ça veut dire quoi ça ?
Il existe un réel ! Il en existe même une infinité !
Tu ne crois pas qu'il manque quelque chose ?
Difficile de parler de dérivée si on ne sait pas de quoi il s'agit. De même qu'il est difficile de pouvoir dire si un objet est une table si on ne connait pas la définition du mot "table" !
Si tu n'as rien écrit d'autre dans ton cours c'est que tu l'as mal copié... Regarde alors ton livre ...

[titine]

Tu abandonnes ?

[LoveLullaby]

Tu abandonnes ?

En fait dans mon classeur de maths les cours sont photocopiés par mon prof et dans ce chapitre là c'est écrit : On dit que f est dérivable en a et on note cette dérivée f'(a) si la limite suivante existe : f'(a) = lim f(a+h)-f(a) le tout sur h
h;)0

[titine]

En fait dans mon classeur de maths les cours sont photocopiés par mon prof et dans ce chapitre là c'est écrit : On dit que f est dérivable en a et on note cette dérivée f'(a) si la limite suivante existe : f'(a) = lim f(a+h)-f(a) le tout sur h
h;)0

Et bien, c'est parfait cette définition ! (il faut l'apprendre !)
Donc :
f est dérivable en 1 si la limite quand h tend vers 0 de [f(1+h) - f(1)]/h existe !
Et f'(1) est la valeur de cette limite.

Or on a vu que :
[f(1+h) - f(1)]/h = (h+2)/(1+h)
Et quand h tend vers 0, à ton avis, que fait (h+2)/(1+h) ?

[LoveLullaby]

Et bien, c'est parfait cette définition ! (il faut l'apprendre !)
Donc :
f est dérivable en 1 si la limite quand h tend vers 0 de [f(1+h) - f(1)]/h existe !
Et f'(1) est la valeur de cette limite.

Or on a vu que :
[f(1+h) - f(1)]/h = (h+2)/(1+h)
Et quand h tend vers 0, à ton avis, que fait (h+2)/(1+h) ?

lorsque h tend vers 0 (h+2)/(1+h) vaut 2/1 ?

[titine]

lorsque h tend vers 0 (h+2)/(1+h) vaut 2/1 = 2 ?

Exactement !
Donc f est bien dérivable en 1 et f'(1) = 2 !

[LoveLullaby]

Ah d'accord merci beaucoup ! J'ai enfin compris :we: