Primitives

[poisonshade]

Bonjour, voici l'énoncé de mon exercice :

f(x)=(4-x)lnx

F(x)=-1/2(x²lnx-x²/2-8xlnx+8x)

Montrer que F est une primitive de f.



(x est l'inconnue x, non pas un signe de multiplication)

Je pense qu'il faut calculer F' car F'=f, mais je n'y arrive pas.
Merci pour l'aide.

[el niala]

la démarche est bonne, peux-tu détailler ton calcul que l'on voit où tu bloques ?

[Mortelune]

Bonjour, c'est une bonne idée de calculer F', même si tu n'as pas réussi entièrement ce calcul où es-tu arrivé ?

[poisonshade]

F(x)=-1/2(x²lnx-x²/2-8xlnx+8x)

F(x)=u*v



avec u=1/v=-1/2

v=2
v'=0

donc u' = -v'/v² = -(-0/2²) = 0




et avec v = x²lnx-x²/2-8xlnx+8x

dont g=-x²/2 de la forme u/v
g' = (u'v-uv')/v² = -(-4x/4)=x

donc v' = 2xlnx-x-8*1lnx+8*1 = 2xlnx-8lnx-x+8



Ainsi,

F'=u'v+uv'
F'=0*(x²lnx-x²/2-8xlnx+8x)+(-1/2)*(2xlnx-8lnx-x+8)
F'=-1/2*(2xlnx-8lnx-x+8)
F'=[-(1/2)*2xlnx]+[(1/2)*(8lnx)]+[1/2]*x-[1/2]*8
F'=-xlnx+4lnx+x/2-4


or f(x)=(4-x)lnx
f(x)=4lnx-xlnx


Donc F' n'est pas égal a f : probleme !

[el niala]

tu as fait plusieurs erreurs, mais en plus tu te compliques la vie :triste:
avec u=1/v=-1/2
v=2
v'=0
donc u' = -v'/v² = -(-0/2²) = 0

la dérivée d'une constante est toujours nulle, ce n'est pas la peine de chercher à dériver 1/2 !

la dérivée de af(x) (a constante réelle) c'est af'(x)

donc, par exemple, la dérivée de -x²/2=-(1/2)x² c'est directement -(1/2)(2x)=-x
ce n'est pas la peine d'écrire ceci :
dont g=-x²/2 de la forme u/v
g' = (u'v-uv')/v² = -(-4x/4)=x
en faisant de surcroît une erreur de signe

en revanche tu te trompes dans la dérivée des produits

x²lnx est de la forme uv avec u=x² => u'=2x et v=lnx => v'=1/x et se dérive en u'v+uv'
d'où (je te laisse vérifier) que (x²lnx)'=2xlnx+x

de même (8xlnx)'=8lnx+8

essaie de reprendre le calcul, tu devrais bien retrouver le résultat demandé

[poisonshade]

Merci beaucoup pour cette aide.


F'=-1/2(2xlnx+x-x-8lnx+8)
F'=-1/2(2xlnx-8lnx+8)

On développe :
F'=-xlnx+4lnx+4


or f=(4-x)lnx
f=4lnx-xlnx

J'ai encore un +4 en trop !

[el niala]

c'est normal, tu as oublié le -8 de la dérivée de -8xlnx !

(-8xlnx)'=-8lnx-8x(1/x)

[poisonshade]

Ah oui d'accord, merci beaucoup pour votre aide.