Théorème

[S.L]

Démontrer (de préférence une démonstration élémentaire) le théorème suivant:
soit p un nombra premier ; Si p s'écrit 4k+1 ou k est un entier naturel Alors il existent a et b entiers naturels tels que p=a²+b² , avec a et b uniques.

Enjoy!

[Nightmare]

Salut,

Il y en a tellement de démonstrations de ce théorème. Ce qui est sûr, c'est qu'à part quelques une qui ont un fond naturel (par exemple la preuve par les entiers de Gauss), on ne peut pas les deviner.

Donc c'est un faux défi.

[nodjim]

ça m'intéresserait d'en voir une (démonstration) sans prérequis supérieur au lycée...

[Ben314]

J'essaye de réfléchir, mais je connais pas trop le programme du Lycée.
Sans le "langage des congruences", ça risque d'être assez lourd.
Aprés, je pense pas qu'il voient au Lycée le fait que, pour p premier et a non divisible par p on a
a^(p-1)=1 [mod p] et je sais pas quelle est la façon la plus rapide de le faire niveau Lycée.
Pour moi un truc rapide, c'est de passer par le Binôme de Newton, mais est-ce que c'est vu au Lycée ?

[Matt_01]

Par récurrence en utilisant le binôme de Newton ca peut se traiter en terminale oui.

[nodjim]

Le langage des congruences, je ne crains pas.

[Ben314]

Bon, alors j'essaye.... (tout suggestion/amélioration est... bienvenue ....)

Tout d'abord, la partie super façile (mais pas demandée) : Pour tout entier a, a² et soit multiple de 4 (si a pair) soit de la forme 4k+1 (si a est impair) donc a²+b² ne peut pas être de la forme 4k+3 : un nombre premiers de la forme 4k+3 ne peut pas s'écrire a²+b².

Dans l'autre sens, je propose une solution sous forme d'exo (T.S.+ Spé math : congruences)
Dans tout l'exercice désigne un nombre premier impair.
1) Montrer que, pour tout entiers et on a
Indication : Utiliser le binôme de Newton.
2) En déduire que, pour tout entier , puis que, si n'est pas divisible par , que
Indication : Récurence.
Dans toute la suite, on dira qu'un entier est un carré modulo lorsqu'il existe un entier tel que .
3) Montrer que, si est un carré modulo alors
4) Montrer qu'il y a exactement entier qui sont des carrés modulo puis qu'il y a au plus entier qui sont solutions de . Que peut on en déduire ?
5) En déduire que est un carré modulo si et seulement si avec entier
Dans toute la suite, on suppose que et on considère un entier tel que .
6) Montrer qu'il y a au moins couples d'entiers tels que puis en déduire qu'il existe au moins un couple d'entiers tel que et que divise
Indication : combien y a t'il de reste possibles pour la division de par ?
7) Montrer que, pour un tel couple , on a forcément puis qu'il existe au moins une solution à l'équation avec .

[Zweig]

J'essaye de réfléchir, mais je connais pas trop le programme du Lycée.
Sans le "langage des congruences", ça risque d'être assez lourd.
Aprés, je pense pas qu'il voient au Lycée le fait que, pour p premier et a non divisible par p on a
a^(p-1)=1 [mod p] et je sais pas quelle est la façon la plus rapide de le faire niveau Lycée.
Pour moi un truc rapide, c'est de passer par le Binôme de Newton, mais est-ce que c'est vu au Lycée ?

Salut,

Oui on voit le petit théorème de Fermat en T°S (mais pas sa généralisation, le théorème d'Euler, par contre) ainsi que le binôme de Newton.

Moi la démo que j'aime bien c'est celle utilisant un raisonnement combinatoire avec un collier de perles mais après les goûts et les couleurs ...

[benekire2]

Moi celle que je connais est celle de Ben ( D'ailleurs les question sur le théorème de Fermat est du cours mais ça fait pas de mal ) , je la trouve très naturelle mais pas très intuitable quand même !!

[Ben314]

Moi celle que je connais est celle de Ben ( D'ailleurs les question sur le théorème de Fermat est du cours mais ça fait pas de mal ) , je la trouve très naturelle mais pas très intuitable quand même !!

Disons qu'en fait le "fils conducteur" de la preuve est trés nettement "comment déterminer les carrés modulo p". Seule les deux questions finales vont vraiment dans le sens de la question de départ : le reste est beaucoup plus général.

[Matt_01]

D'ailleurs on sent que le final est déjà plus exotique.
A part ça, il y a une petite coquille, il faut lire .

[Ben314]

D'ailleurs on sent que le final est déjà plus exotique.
A part ça, il y a une petite coquille, il faut lire .

Effectivement :je modifie...

Tient, je viens de réagir aussi qu'il manque des questions concernant l'unicité de (a,b).
Je sais pas si on s'en sort façilement dans cette "veine" (i.e. sans les entiers de Gauss).

Donc "DEFI" : rajouter quelques questions pour montrer l'unicité...

[Matt_01]

Je propose pour cela :
On suppose que avec entiers naturels.
-Montrer que est divisible par .
-En déduire que divise l'un des deux facteurs.
On suppose que divise .
-Comparer et
-En déduire que est divisible par .
-Montrer alors qu'il existe tel que et (on pourra utiliser la comparaison précédente)
-Conclure.

Puis on admet que la démonstration lorsque divise est similaire.

[Ben314]

Ca me semble deuxpeccables...

[Matt_01]

Par contre, je trouve le point juste avant la conclusion un peu plus vache que les autres.
Cette question fera office de mini challenge :we:

[Ben314]

Par contre, je trouve le point juste avant la conclusion un peu plus vache que les autres.
Cette question fera office de mini challenge :we:

Perso, c'est plutôt le premier point qui m'a un peu posé problème : est-ce qu'on s'en sort simplement sans écrire que , c'est à dire sans utiliser trop d'inverses modulo p ?
Pour le dernier point, on a la somme des carrés de deux nombres divisibles par p (dont un clairement non nul) qui fait p² et ça ne laisse pas bien le choix... (mais vu ton "il existe u tel que...", je me demande si tu ne procède pas différement)

[Matt_01]

Pour le premier point on dévelloppe :


Pour le dernier point, on est amené à et donc et sont colinéaires.

[Ben314]

Pour le premier point on dévelloppe :


Pour le dernier point, on est amené à et donc et sont colinéaires.

Pour le premier point : OK (c'est moi qui suis un manche)
Mais, pour le dernier point, vu que , il me semble que l'on a directement .
De plus, ad=bc (tout seul) implique a=c et b=d vu que a,b sont premiers entre eux et c,d aussi (évident vu que a²+b²=p=c²+d²)

[Matt_01]

Oui c'est exact. J'avais juste injecté le fait que et soient multiples de dans l'expression de , et on obtient ce que j'ai dit auparavant.
Mais pour la fin je ne suis pas d'accord, ne conduit pas tout de suite à , ou alors il y a quelque chose qui m'échappe.

[ffpower]

C'est juste Gauss : Si ad=bc, alors a divise bc, et a et b premiers entre eux, donc a divise c. c divise ad, et c et d sont premiers entre eux, donc c divise a. donc a=c ( et b=d )