[Défi] Le théorème des 6 exponentielles

[Zweig]

Bonsoir,

Définition 1. Un nombre est dit algébrique s'il existe un polynôme à coefficients entiers dont il est racine. Sinon, ce nombre est dit transcendant.

Définition2. Soit une famille de complexes . On suppose qu'il existe des complexes tels que

On dit alors que la famille est libre. Dans le cas contraire, s'il existe un indice tel que , alors la famille est dite liée.

Définition 3. Avec les notations précédentes, on dit que la famille est linéairement indépendante sur (ou -linéairement indépendante) si



Nous admettrons pour la suite le théorème suivant, dit théorème des six exponentielles :

Soient et des nombres complexes linéairement indépendants sur . Soient , et des nombres complexes linéairement indépendants sur . Alors l’un au moins des six nombres est transcendant.

Montrer que si , et () sont des entiers naturels, alors nécessairement l'est aussi.

[Nightmare]

Salut !

Quid si on considère juste et . En tout cas, le résultat est intéressant mais très délicat à démontrer!

[Zweig]

Sauf erreur, ton résultat n'est démontrable que si on prend comme vrai le théorème des 4 exponentielles ... qui n'est à l'heure actuelle (il me semble) qu'une conjecture ... Ou bien, des mathématiciens ont réussi à démontrer le résultat autrement ?

[Nightmare]

J'ai étudié ça cette année en analyse complexe. Effectivement le résultat sur 2^x et 3^x n'est pas encore démontré (ou réfuté ...). Concernant le résultat avec 5^x en plus, même si tu n'as pas le choix, c'est dommage d'admettre le seul résultat qui fait que c'est un théorème très difficile à démontrer. Mais je conçois bien que demander de démontrer le théorème "des six exponentielles" (je ne savais pas qu'il s'appelait comme ça) est tout aussi délicat :lol3:

[Zweig]

Si tu as une référence (biblio ou web) qui traite de la démonstration de ce théorème (des 6 exp), je suis preneur :happy2:

En fait, j'ai surtout posté ce défi pour la beauté du résultat à démontrer.

[benekire2]

Si tu l'as étudié en L3 analyse complexe, j'ai du mal a voir comment on pourrait le démontrer en temps que lycéen ... :zen:

Je vais tenter le problème , on va voir ce que ça va donner, :++:

[Zweig]

Non non, le problème que j'ai proposé, à l'aide du théorème admis et des définitions, est tout à fait à la portée de lycéens. Seule la démonstration du théorème des 6 exponentielles est hors-de-portée.

[benekire2]

oui oui c'est bien ce que j'avais compris ^^ :id:

Mais même si c'est un exo que tu pose, c'est jamais trivial :zen:

Faut déjà montrer que 2^x 3^x t 5^x sont linéairement indépendants sur Q.

[Zweig]

Quelques pistes

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L'idée dans un premier temps c'est de montrer que est nécessairement un rationnel. Pour cela, on suppose le contraire et on se sert de deux familles de nombres bien choisies (dont l'une est composées que de trois bien choisis ...) afin d'obtenir une contradiction avec le théorème admis. Pour l'autre famille (à deux éléments), si est irationnel, que peut-on dire de la famille ?

Voilà, tu as tous les éléments pour commencer.

[benekire2]

a deux éléments ?? pourquoi ? on a bien trois nombres, qui sont 2^x ; 3^x et 5^x ?

[Zweig]

Je me suis peut être mal exprimé. Je recommence.

La première partie de la démo c'est de montrer que est rationnel. Pour cela, on raisonne par l'absurde on supposant irrationnel et en obtenant une contradiction avec le théorème admis.
On supposant irrationnel, que peut-on dire sur la "nature" de la famille ? En se basant sur les conditions du théorème admis, il nos reste à trouver une famille libre à 3 éléments pour obtenir la contradiction recherchée ... A toi de la trouver (elle n'est composée que de bien choisis).

[benekire2]

la famille (1,x) est libre sur Q.

Le problème c'est que je ne comprends toujours pas en quoi le théorème admis nous permettra de trouver une contradiction sur l'irrationalité de x. Je ne visualise pas du tout sur quoi l'on s'achemine. Désolé :hein:

[ffpower]

Moi qui m'attendait a une demo nv terminale du theo des 6 expos..Je suis décu :cry:

[Zweig]

Oui la famille est libre (pourquoi) ?

Bien, les conditions du théorème sont que si l'on a deux familles libres, une à 2 éléments, l'autre à 3 éléments, alors les 6 exponentielles sont transcendants.

Je t'ai déjà donné la première famille, il reste à trouver une deuxième famille libre de sorte que les 6 nombres obtenus soient algébriques. On obtiendra la contradiction recherchée ... Pour cela, remarque que les entiers sont algébriques, cela devrait t'aider à trouver la dernière famille.

[benekire2]

Je vois un peu mieux, mais c'est loin d'être bon ( je sais pas pourquoi, j'y arrive pas a visualiser ... )

Il y a un truc qui me chagrine, si je trouve une deuxième famille libre sur Q alors au moins une des six exponentielles sera transcendantes, et je pourrais pas avoir de nombre algébrique dedans ...

[Zweig]

L'idée c'est, en supposant x irrationnel, (ce qui implique la liberté de (1,x)), de trouver une famille à 3 éléments de sorte que les 6 exponentielles soient entières, donc non transcendantes (ne pas oublier l'hypothèse de départ : 2^x, 3^x et 5^x sont entiers ...)

[benekire2]

bah je prendrais ln(2) ln(3) et ln(5) comme ça mes 6 exponentielles sont 2^x, 3^x ,5^x, 2, 3 et 5

cela prouve donc que la famille (ln(1),ln(3),ln(5)) n'est pas libre d'après le théorème.

Mais c'est ça que je comprends pas ...

[Zweig]

Non non, ça ne prouve pas que la famille des n'est pas libre. En fait cette famille est libre (montre-le), sinon ça ne contredirait pas le théorème. Ca contredit juste le fait que x est irrationnel (à cause du fait que (1,x) est libre).

[benekire2]

d'accord, pour la liberté des familles je ferais ça demain,

donc x ne peut pas être irrationnel. Ainsi x est rationnel (puisque réel ?? ) et le problème c'est qu'alors (1,x) n'est plus libre, mais au pire on s'en fout non ? Puisque j'ai l'impression "qu'on a assez fait parler le théorème"

Donc maintenant je dois quivre quelles "pistes" pour montrer que x est forcément entier ? ( J'ai beaucoup de mal .. )

on a ; et entiers. Mais 'est tout ce que je sais. :--:

[benekire2]

Oulala :doh: ... en fait je pouvais finir :


c'est la racine q-ième de 2 exposant p et pour que ce soit entier il faut que p soit un multiple de q. et c'est réglé normalement.