Equa diff, recolement

[mois]

Bonjour, dans le cadre d'un DM, je dois résoudre sur R cette équation différentielle:
tx'-2x=(t-1)(t+1)^3 (le ^3 porte sur le t+1)
J'ai résolu l'équation homogène associée donc les solutions sont de la forme K* t²
Pour obtenir une solution particulière j'ai essayé:
-La méthode de la variation de la constante: Je n'arrive pas à primitiver l'expression obtenue
-Chercher une solution sous la forme d'un polynôme du quatrième degré: Je n'aboutis pas :mur:

j'aurais donc besoin d'un petit coup de pouce pour trouver une solution particulière et pouvoir me pencher sur le problème du recollement.

Merci d'avance

[arnaud32]

pourtant un polynome de degre 4 ca m'a l'air tres bien
si tu as a.t^4+b.t^3+c.t^2+d.t+e
que trouves tu comme rlations entre les coef?
indic: (t-1)(t+1)^3 =(t-1)(t+1)(t+1)² = (t-1)²(t+1)²

[mois]

Si ej pose x(t)=a.t^4+b.t^3+c.t^2+d.t+e
j'ai x't=4a.t^3+3b.t^2+2c.t+d
En faisant t*x'(t)-2*x(t) on a: 2at^4+bt^3-dt-2e

Soit: a=1/2
b=2
d=2
e=1/2
Ça veut dire qu'une solution particulière est:

1/2t^4+2t^3+2t+1/2

?A+

[mois]

Excusez moi il y avait des fautes:

Si je pose x(t)=a.t^4+b.t^3+c.t^2+d.t+e
j'ai x't=4a.t^3+3b.t^2+2c.t+d
En faisant t*x'(t)-2*x(t) on obtient: 2at^4+bt^3-dt-2e

Soit: a=1/2
b=2
d=2
e=1/2
Ça veut dire qu'une solution particulière est:

1/2t^4+2t^3+2t+1/2

C'est ça?

A+

[arnaud32]

x'*t=4a.t^4+3b.t^3+2c.t^2+d.t

et

t.x' -2.x = x'*t=2a.t^4+b.t^3-d.t-2.e

en etudiant en 0 et inf tu trouves que
2.a=1
-2e=-1

et si tu regardes en t=1
b = d
t^4+b.t*(t²-1)-1= (t²+1)(t²-1) + b.t*(t²-1) = (t²-1)*(t²+2bt+1)
donc avec l'indic que je t'ai donne b=1

donc
1/2*t^4+t^3+t+1/2

[mois]

"x'*t=4a.t^4+3b.t^3+2c.t^2+d.t

et

t.x' -2.x = x'*t=2a.t^4+b.t^3-d.t-2.e
"
jusqu'ici je suis d'accord je trouve la même chose.
"en étudiant en 0 et inf tu trouves que
2.a=1
-2e=-1"
La encore je trouve la même chose, bien que je ne procède pas de la même façon, j'ai développé le polynôme (t-1)(t+1)^3 et j'ai procédé par identification.
Par contre je ne comprends pas dutout ta méthode pour la suite, je ne vois pas ce que tu veut dire en disant "tu regarde en t=1"
Cependant, quand je développe (t-1)(t+1)^3 je trouve :t^4+2t^3-2t-1 tandis que si je reprend ta solution: x(t)=1/2*t^4+t^3+t+1/2 et que je la dérive, et que je la "teste" avec l'équa diff je trouve:
t^4+t^3-t-1 ce qui est différent du polynôme de départ, il doit y avoir un soucis quelque part. :hein:

[arnaud32]

tu cherches a identifier (t-1)*(t+1)^3 donc en 1 et -1 ca doit faire 0

et mea culpa
en effet c'est b=2 que tu dois trouver

donc

[mois]

On est d'accord, on trouve la même chose! :lol3:
Comme j'ai divisé par "t" je dois procédé à un recollement en 0 pour trouver les solutions de cette équa diff sur R tout entier.
Comme ma solution sur les 2 intervalles (R privé de 0) est:
x(t)= K t²+ 1/2t^4+2t^3+2t+1/2
Je dois trouver une solutions en 0. Je ne vois pas très bien comment procéder??

[arnaud32]

tu dois verifier que ta solution est derivable (dc continue) en 0

[mois]

Ma solution est dérivable en 0 puisque c'est une somme de monômes, je conclus directement en disant que cette solution est valable sur R tout entier?

[arnaud32]

non je pense que les solutions sont du type
x(t)= A t²+ 1/2t^4+2t^3+2t+1/2 si t>=0
x(t)= B t²+ 1/2t^4+2t^3+2t+1/2 si t<0

en revanche
si tu veux une solution C² A=B

[mois]

Il faut déterminer A et B dans ce cas, mais à partir de quoi?

[arnaud32]

des conditions initiales par exemple ...

[mois]

oui j'imagine, mais elles ne sont pas précisées dans l'énoncé :happy2:
Je vais donc laisser ma solution sous cette forme là. Je te remercie pour l'aide que tu m'as apporté!