Equa' Diff'

[brebre54]

Voila le premier exo de mon petit DM de maths ...

Soit l'équation différentielle (E) y' = ay+b avec a(t)=1-(1/t) et b(t)=1-(2/t)


1.Déterminer toutes les solutions de (E) sur ]0, +l'inf[
2.Montrer qu'il existe une unique solution f0 de (E) sur ]0, +l'inf[ yaynt une limite finie en 0
3.On admettra que pour tout x de [-1;1], abs((e^x) -1-x-(x²/2))< abs(x)^3 (c'est en réalité un inférieur ou égal)
Calculer lim(t->0) (f0+2)/t


Donc la première, je ne pense pas m'être trompé, j'ai trouvé comme solution y(t)=k(e^t)/t-1+1/t=1/t*(ke^t+1) -1

Après ça se gâte ...

Je suppose, que la solution unique f0 est pour k=-1, mais bon, je n'arrive pas à voir comment le démontrer de façon purement mathématique ...

Et pour la question 3, j'ai essayer d'enlever les valeurs absolues, mais je retrouve pas f0, alors peut être que ma première supposition est fausse ...


Merci de votre aide ^^

[Ben314]

Salut,
Si tu t'est pas gourré dans les calculs (ça semble cohérent, mais j'ai pas vérifié), la question 2) peut se résumé à :
Pour quelle(s) valeur(s) de k la fonction y(t)=(ke^t+1)/t -1 ademt-elle une limite finie lorsque t->0 ?
Vu que tu as une fraction (ke^t+1)/t dont le dénominateur tend vers 0 et le numérateur tend vers k+1, le seul cas où (peut-être) il y a une limite finie est celui où k+1=0 (sinon, ça tend clairement vers +oo ou -oo)
Reste à vérifier que, lorsque k=-1 la fonction a bien une limite finie lorsque t->0.

[brebre54]

oui, en effet, c'est le raisonnement que j'ai mené pour arriver à k=-1, mais le problème est la vérification ...

Je ne sais pas comment vérifier, j'ai essayer de faire la différence de (-e^t+1)-t pour voir si c'est positif ou négatif, et regarder la limite vers 0+ pour savoir si le dénominateur ou le numérateur est la plus grand, mais je ne m'en sors pas ...

[brebre54]

Désolé pour le doble post, je dois pas avoir les yeux en face des trous, je vois pas le bouton "Editer" xD

J'ai peut être trouvé

Etatnt donné qu'on suppose que la seule solution possible pour avoir une limite finie est k=-1, on se propose de vérifier la véracité de notre hypothèse

J'ai alors posé g(t) = -e^t+1-t
on alors g'(t)=-e^t-1 qui de toute évidence est négatif sur R
Donc g est décroissante sur R, donc décroissante sur [0;+oo[, et g(o)=0

J'en ai déduit que (toute les limites sont pour t->0+) lim -e^t+1=lim t = 0

De plus, lim -e^t+1 = 0- et lim t = 0+, donc lim (-e^t+1)/t = -1 (et lim fo=-2)

Est ce que ce raisonnement est juste ?

[Ben314]

Est ce que ce raisonnement est juste ?

Non, c'est (franchement) foirreux : tant que tu n'as comme seule information que le fait que le numérateur et le dénominateur tendent vers 0, tu ne peut pas savoir quelle est la limite.
Si je te dit que (e^t-1)/t, ben si on veut, on peut l'écrire (e^t-e^0)/(t-0), ça t'aide pas un peu...

[brebre54]

Bah ça me fait penser à un taux d'accroissement, mais je suis allergique à ces petites bêtes là ...

Il me semble que l'utilisation principale de ce taux d'accroissement c'est pour étudier la dérivabilité, donc si je comprends bien ce que tu veux me faire dire, si je trouve que f est dérivable en 0, cela signifie qu'elle ne possède pas d'asymptote verticale en 0, et donc qu'elle a une limite finie ...

Suis je sur la bonne voie ?

On considère la fonction g :t-> -e^t, Tgo son taux d'accroissement en 0

Tgo=-e^t-(-e^0)/(t-0)
Donc lim(t->0) To = -e^0 = -1 car lim(t->0) To = g'(o)

et donc la on retrouve ce qu'on veut, c'est à dire, pour k=-1, lim(t->0) fo=-2

[Ben314]

C'est bien ça. (c'est un cas particulièrement simple de ce que l'on appelle parfois "la règle de l'Hospital)

[brebre54]

Étrange comme nom ... ça vient d'où ?

Merci beaucoup pour le coup de pouce ^^

Pour la question trois, j'ai un encadrement, mais je n'arrive pas à aboutir, je vais m'y pencher plus sérieusement dans la soirée, et je viendrais redemander un coup de pouce si besoin est ^^