Problème de polynôme

[lightning_ever]

Salut tout le monde ! :we:

On sait que P = XP - 1/n(X²-1)P'.

Je dois montrer que P' = P + (1-2/n)XP' - 1/n(X²-1)P'' et en déduire que (-1) est une racine du polynôme P d'ordre au moins 2.

Mais l'ennui c'est que je n'y arrive pas. J'ai essayé de factorisé mais sans résultat probant :(

Est-ce que vous pouvez m'aider s'il vous plait?

[girdav]

La relation n'est-elle pas plutôt une relation de récurrence de la forme ?
As-tu montré la relation qui est demandée?

[gigamesh]

Bonsoir,
l'exo n'est pas très dur :

*tu dérives la première égalité pour obtenir la deuxième
*tu remplaces X par -1 dans la première égalité pour prouver que P(-1)=0
*tu remplaces X par -1 dans la deuxième égalité pour prouver que P'(-1)=0
*tu relis ton cours pour conclure

[lightning_ever]

Non, non girdav c'est bien ça.

Heu gigamesh, l'ennui c'est que je trouve que P' = P - (2X/n)P''...

[gigamesh]

Ha ha ha !
(désolé de me moquer).

tu as utilisé la fameuse formule de dérivation (uv)'=u'v', je pense.
Tu sais, la cousine de (a+b)²=a²+b² ...
Ces deux formules sonnent agréablement à l'oreille, mais elles ont un léger défaut : elles sont fausses (c'est ballot).

Copie 50 fois (uv)' = u'v+uv' (et (a+b)²=a²+2ab+b² tant que tu y es).

Ensuite utilise la formule de dérivation correcte, et ça va mieux marcher !

[lightning_ever]

Merci beaucoup ça marche!
Pour la peine, je t'autorise à te moquer, tu le mérites :zen:

[lightning_ever]

Par contre, lorsque l'on remplace les X des équations par -1, elles ne font pas 0...

[gigamesh]

Ouaip.
Mais je n'ai pas dit que "ça" faisait zéro !

Dans la première,
P=XP-1/n (X²-1)P' devient, avec X=-1, P(-1)=-1P(-1) + 1/n ((-1)²-1) P'(-1)
d'où P(-1)=-P(-1).

Tu connais quoi comme nombres égaux à leurs opposés ? (dans un corps de caractéristique différente de 2 en tout cas ; si tu ne comprends pas cette remarque, c'est qu'elle ne t'est pas utile)

[lightning_ever]

Il n'y a que 0 qui est égal à son opposé donc P(-1) = 0!

[lightning_ever]

Ah super, je trouve que P'(-1) = -P'(-1) + 2/n * P'(-1).
Et donc P'(-1) = 0!!

Merci beaucoup gigamesh :we:

[lightning_ever]

Par contre je comprends pas pourquoi il faut montrer que P'(-1) = 0 car dans le cours il y a marqué que a est racine de P si P(a) = 0...
Mais en même temps, c'est vrai qu'il y a marqué en déduire juste après l'expression de P' :mur:

[gigamesh]

Si -1 est une racine (au moins) double de P, alors P est divisible par (X+1)², par définition d'une racine double.
Donc il existe un polynome Q tel que P=(X+1)²Q ; et en dérivant on voit que -1 est une racine de P'.
Bon évidemment c'est la réciproque de cette propriété qui nous intéresse !
Je pense que cette réciproque est quelque part dans ton cours (en fait ça m'arrangerait parce que je me rappelle plus la démonstration et j'ai la flemme de chercher).
Ainsi avoir P(-1)=P'(-1)=0 nous permet de conclure.

Tiens en fait c'est facile :
On sait que P(-1)=0 donc il y a un polynome R tel que P=(X+1)R.
On dérive : P'=R+(X+1)R' ; on prend en X=-1 or P'(-1)=0 du coup R(-1)=0, et il y a alors un Q tel que R=(X+1)Q ...

[lightning_ever]

Merci beaucoup gigamesh! Grâce à toi j'ai pu terminer mon exo :we:

Dis (si tu es toujours là^^), est-ce que tu pourrais m'aider pour un autre de mes exos s'il te plait?

Enoncé : E est l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à 3.
On désigne par f l'application qui à un polynôme P de E associe le polynôme f(P) défini par :
f(P)(X) = P(X+1) + P(X).


J'ai montré que f était un endomorphisme de E et j'ai déterminé la matrice de f dans la base B constituée des polynômes 1, X, X², X^3.

Maintenant je dois montrer que f est bijectif mais je ne vois pas comment faire ...

[girdav]

Montre que le noyau est réduit au polynôme nul.

[lightning_ever]

Le noyau n'est pas toujours réduit au polynôme nul? (désolé si je dis une bêtise plus grosse que moi^^)

[girdav]

Ça dépend du cas que tu traites. En fait on a que l'endomorphisme est bijectif si et seulement si le noyau est réduit au vecteur nul (ici le polynôme nul).
Ici essaie de voir ce que le fait que soit nul entraîne.

[lightning_ever]

Le déterminant de la matrice est non nul...

[girdav]

Dans ce cas c'est ok, puisque la matrice est inversible.

[lightning_ever]

Ok merci girdav!

Par contre j'ai un problème avec la question suivante. On me demande de calculer la matrice de f^-1 dans la base B mais je vois pas comment faire ni ce que ça représente :S

[girdav]

Comme tu as montré que ton application est bijective, elle admet une réciproque. On chercher donc ici une matrice telle que, en notant celle de ton endomorphisme dans la base en question, on aie , où est la matrice identité. As-tu vu dans le cours des méthodes de calcul de l'inverse d'une matrice?