Je viens de trouver votre site sur le net qui me semble parfait pour vous soumettre un problème de calcul différentiel que je trouve difficile . J' espère que parmis vous, certains pourrons m' aider. Je vous donne l' énoncer en entier !!
On se place dans R^N muni de sa base canonique (ei)i=1...N et du produit scalaire
On note Y l' endomorphisme identité de R^N. On veut minimiser sur R^N la fonctionnelle f: R^N -> R définie par :
f(v)= a N sigma(de i=1 à N )|Vi+1 - Vi |^2 +(b/N)sigma(de i=1 à N)|Gi- Vi|^2
Ou a et b sont des constantes réelles strictement positives données et ou G = (gi) i=1....N est un vecteur donné de R^N.
On admet que le minimiseur v* ,ie, le vecteur de R^N vérifiant.
f(v*)= min f(v) Est tel que Df(v*)=0
vR^N
1) Montrer qu' il existe AL (R^N,R^N) tel que pour tout v R^N.
f(v)= a N
Et déterminer la matrice de A lorsque R^N est muni de sa base canonique.
2) Calculer en donnant tous les détails la différentielle Df(v) pour tout v de R^N.
3) Montrer qu' il existe B L(R^N, R^N) vérifiant
< v,A(w)> = < B(v),w >
Pour tout v et tout w de R^N et donner la matrice de B dans la base (ei) i=1...N .
Par la suite on note C la transposée de A ou, C est l' endomorphisme B.
4)Montrer que v* vérifie l' équation :
(aN CA+bY/N)(v*)=bg/N
5) Ecrire cette équation sous la forme matricielle d' un système que l' on résoudra.
Voila je n' ai pas réussit à faire fonctionner le copier coller avec mytipe j' espère néanmoins pourvoir trouver de l' aide ici !!
Merci