Polynôme

[PELOUZ]

Bonjour, j'ai un devoir qui porte sur les polynômes et j'ai deux questions sur lesquelles je bloque:
Énoncé
1)Soit P appartient à R[X] tel que P(X+1)=P(X)
a) Si P(0)=0, montrer que P est le polynôme nul (rechercher les zéros de P)
b) Montrer que avec le cas précédent que dans le cas général que P est un polynôme constant

J'ai essayé de faire avec la définition d'un polynôme mais je n'y arrive pas.
Pour la deuxième question il me semble qu'il faut résonner par l'absurde mais je ne sais pas comment m'y prendre.

Si quelqu'un peut m'aider, je suis preneur.
Merci pour votre aide

[Maxmau]

Bj

1/a/ Si P(X+1) = P(X) et P(0)=0 alors P admet une infinité de racines
1/b/ introduis le polynôme Q(X) = P(X) – P(0)

[ShakkaChan]

question 1
p(0)=0
puisque p(x+1)=p(x) alors p(1)=p(0)=0

par le meme raisonnement p(2)=p(1)=0
ainsi de suite
donc ton polynome s'annule en tout les entier
si ton polynome est de degré n il doit s'annule en maximum n racine
or il s'annule en bien plus que n nombre ( un infinité ) donc p=0

question 2
ici on ne considere pas que p(0)=0 mais que p(0)=a
on a donc pour tout n entier p(n)=a
je pense qu'on pose
q(x)=p(x)-a
donc q(x+1)=p(x+1)-a

on voit que q(0)=0 et que pour tout n q(n)=0 donc par la question precedente q(x)=0
donc p(x)=a

[PELOUZ]

Merci à vous cela m'a bien aidé, mai je n'arrive pas a faire deux autres questions, j'avoue je ne suis pas très fort sur les polynômes.

on P appartient à R[X] verifiant
(i) X*P(X+1)=(X+3)*P(X)

a) Montrer que 0,-1,-2 sont zéros de P
b) En utilisant que P est un polynôme constant, en déduire tous les polynômes vérifiant (i)

Merci d'avance

[kazeriahm]

est-ce que tu vois pourquoi 0 est racine du polynome ? qu'est-ce que ca veut dire ?

[Maxmau]

Bj

a/ donne à X les valeurs : 0, -1, -2
b/ D’après a/ une solution de Pb est de la forme P(X) = X(X+1)(X+2)Q(X) où Q est un polynôme.