[Terminale S] Produits scalaires dans l'espace

[jfmamjjasond]

Bonjour,

j'ai un DM sur les produis scalaires à rendre pour lundi mais je bute sur la dernière partie de l'exercice :

Un tétraèdre régulier



Soient a un réel strictement positif et OABC un tétraèdre tels que :

• OAB, OAC, OBC sont des triangles rectangles en O;
• OA = OB = OC = a.

On appelle I le pied de la hauteur issue de C du triangle ABC, H le pied de la hauteur issue de O du triangle OIC et D le point de l'espace défini par .

[...]

4. Etude du tétraèdre

L'espace est rapporté au repère orthonormal

a) Démontrer que le point H a pour coordonnées

Je précise que j'ai auparavant démontré que :

• ABC est un triangle équilatéral de côté (ce qui implique donc que I est milieu de [AB] puisque dans un triangle équilatéral hauteur = médiane) ;
• (OH) et (AB) sont orthogonales;
• ;

Mais je n'arrive pas à trouver les coordonnées de H ;x
J'avais pensé à une propriété de la médiane qui me permet de dire que . En partant de ça je trouve effectivement les bonnes coordonnées pour H mais le problème c'est qu'avant il faut que je prouve que H est bien le centre de gravité du triangle ABC et ça je vois comment faire

J'en appele donc à votre aide.

Sur ceux merci d'avance,
jfmamjjasond.

[oscar]

Bonsoir

Tu devrais donc montrer que H est le point d' intersection des médianes
[AH];[BH] et[ CH]

[jfmamjjasond]

Bonjour, je viens de m'apercevoir qu'en fait j'avais zappé une question dans l'énoncé. En fait je devais auparavant montrer que H est l'orthocentre du triangle ABC.
Mais à cet étape de l'exercice je n'ai pas encore le repère orthonormé, tout ce que je sais c'est que ABC est équilatéral et que (OH) et (AB) sont orthogonales :x

Quelqu'un peut-il me donner une piste ?

Merci d'avance
Jfmamjjasond