[1ère S] Problème d'alignement avec des produits scalaires

[Yumeno]

Bonjour,

Je sollicite une nouvelle fois l'aide des membres de ce très bon forum pour un exercice destiné à prouver l'alignement de 3 points grâce à des produits scalaires. Voici l'énoncé :

On construit un triangle équilatéral AEB de côté égal à 1 et deux carrés ABCD et BGFE comme sur la figure ci-dessous. (Désolé l'image est un peu grosse...)



(Les questions en rouge sont celles que je n'arrive pas à faire.)
1. Calculer BC . BE, en déduire DA . BE.
2. Calculer EA . EB.
3. a) Démontrer que le triangle BCG est équilatéral.
b) En déduire BC . BG, puis DA . EF.
4. Calculer AE . EF.
5. En utilisant la relation de Chasles, calculer DE . BF.
6. En déduire que les points D, E, G sont alignés. (Forcément, n'ayant pas réussi la précédente...)

Pour la question 3. b), D étant le projeté orthogonal de C sur (AD) et A celui de B sur (AD) ; E celui de B sur (EF) et F celui de G sur (EF), cela donnerait BC . BG = AD . EF, donc DA . EF serait-il l'opposé de BC . BG puisque pour obtenir celui demandé par l'énoncé, il faudrait passer du vecteur AD au vecteur DA ?

Merci d'avance pour toute l'aide que vous pourrez m'apporter !

[Yumeno]

Petit up.

Pour la question 5, je décompose ainsi (le tout est en vecteurs) : DE . BF = (DA + AE) . (BE + EF) = DA . BE + DA . EF + AE . BE + AE . EF, mais cela me donne un produit scalaire différent de 0, il y a un problème puisqu'il faudrait que (DE) et (BF) soient perpendiculaires, et vu qu'il me semble que les diagonales d'un carré se coupent perpendiculairement, cela permettrait de prouver l'alignement des trois points...

En fait, DA . EF + AE . BE me donnent bien 0, mais DA . BE + AE . EF me donnent - (racine carrée de 3)/2 - (racine carrée de 3)/2... Me suis-je trompé quelque part dans les premières questions ?

De plus, je n'ai toujours pas trouvé la démonstration de l'égalité des côtés du triangle (deux sont déjà faciles à montrer, le troisième je ne vois pas...), et ne pas trouver 0 à la question 5 me turlupine...

Merci.

[chan79]

salut
ton texte est bizarre
d'après l'énoncé
AB=BE=EA=BC=CD=DA=BG=GF=FE
si on considère la rotation de centre B et de 90° (sens négatif) :we:
A a comme image C
E a comme image G
donc AE=CG
BCG est équilatéral
après c'est facile de montrer l'alignement de D, E G
tu calcules les angles AED, AEB et BEG à eux 3, ils font 180° mais il faut suivre gentiment les questions du texte ... :we:

[Yumeno]

Pour l'alignement des points je suis plus d'avis qu'il faut utiliser la question précédente, qui devrait nous donner DE . BF = 0, ainsi (DE) et (BF) sont perpendiculaires, mais je n'arrive pas à trouver 0 et je ne débusque pas mon erreur. Bref, [EG] est la diagonale du carré EFGB, donc (EG) perpendiculaire à (BF). Il n'y a qu'une seule perpendiculaire à (BF) passant par E, donc D, E et G sont alignés.

Quant à démontrer que le triangle est équilatéral, je pense que s'il fallait employer la rotation, elle nous aurait été indiquée dans l'énoncé. Ce doit être autre chose...

Toutefois, merci.

[chan79]

voila ce que je trouve
DE . BF = (DA + AE) . (BE + EF) = DA . BE + DA . EF + AE . BE + AE . EF=
cos 150°+cos 120°+cos 60°+cos30°
et ça fait bien 0
A+

[Yumeno]

Je suis d'accord avec vous pour les trois premiers, mais je n'arrive pas à comprendre comment on trouve un angle de 30° (pi/6) pour le produit scalaire de AE et EF... C'est justement là que ça coince, sans ça, je trouverais effectivement zéro !

[chan79]

avec les angles
(AE,EF)=(AE,EB)+(EB,EF)=-2pi/3+pi/2=-pi/6

[Yumeno]

Effectivement, j'ai commis l'erreur d'étourderie en calculant l'angle AEF... Ce qui me conduisait à un résultat erroné, empêchant d'atteindre 0 à l'avant-dernière question...

Pour la question du triangle équilatéral, je ne vois pas d'autre explication, au final, que la rotation autour de B... Toutefois, si quelqu'un voit un autre moyen de démontrer ça, n'hésitez pas à vous manifester !

En tout cas, merci beaucoup à vous, "chan79", pour votre aide.