Exercices sur les produits scalaires

[Nightmare]

D'accord, peux-tu le généraliser à 2 vecteurs quelconques? (vecteur dans le sens linéaire et non affine du terme)

Exo plus géométrique :

Soit le plan euclidien munit d'un repère orthonormé (O,i,j) et f l'application du plan dans lui même qui à tout point M associe le point M' définie par :


Montrer que l'image par f d'une droite ne passant pas par O est un cercle passant par O.
Montrer qu'une droite passant par O est invariante par f.

A toi de jouer.

:happy3:

[J-R]

nightmare: on ne connait "rien" sur A ?

[Nightmare]

Pardon, c'était un O, j'ai changé ça.

[Jess19]

ok désolé que mon DM soit trop simple pour toi !! j'aurais essayé de t'aider un peu :we:

Bonne continuation

[lapras]

Nightmare :
Je tavoue que je n'ai pas encore fini d'étudier tous les chapitres de premiere S, et en fait ceux que je n'aui pas encore étudier sont statistiques/prob
et
géométrie dans l'espace, transformations du plan et de l'espace

je ne sais pas si ces deux derniers chapitres sont importants pour ton exercice, mais il me manque des notions géométriques : image d'une droite par une application ?
Comment une application peut elle avoir pour image un cercle ?
(je n'ai pas encore entendu parler de ca, mais je vais finir ces derniers chapitres la semaine prochaine)



Jess > merci à toi, c'était sympa !

[Nightmare]

L'idée c'est la même que pour les applications de R dans lui même.

Tu prends la fonction carré : f : x-> x².

On a f(1)=1, f(-5)=25, f(0)=0 etc... Et, si l'on calcul l'image d'un réel quelconque, la seule chose que l'on peut affirmer, c'est que cette image est positive. En fait, on dit que l'image de R par f est R+ (on écrit : f(R)=R+).

On peut, par des applications, calculer des images d'ensembles. L'image d'un ensemble A par une application c'est en fait l'ensemble de toutes les images des éléments de A par cette application. Tu vois le truc?

Ben dans le plan euclidien ça marche pareil. Une droite c'est un ensemble de point. Si l'on calcul les images de tous ces points par notre application et qu'on les dispose dans le plan, on obtiendrait un cercle.

Compris?

:happy3:

[J-R]

nightmare: ca fai déjà ne petite heure qe je cherche, j'aurais juste besion d'une confirmation : c'est bien: ? On ne connait que cela sur A ? merci.

:happy2:

[lapras]

je crois que j'ai la solution !
mais jai pris en compte :
OM.OM' = 2 et non AM.AM' = 2 !

[J-R]

lapras: voilà je pensais comme toi prendre O à la place du A (je lui ai demandé confirmation)

[lapras]

Ok donc on fait comme ca, on prend un O :++: ;)
je dois laisser l'ordi a mon pere et aller chez un ami, la démonstration est presque fini, j'espere que j'aurais l'ordi ce soir, je la posterai !
Bye a tous
vive les maths

[J-R]

bon peut etre une solution:

tout d'abord O n'appartient pas à [MM'] car . Par conséquent (avec k un réel).

,



=>

=>

Or comme M décrit une droite ne passant pas par O alors M doit etre distinct de O donc k>0.
De plus, M(x;ax+b) par conséquent

On a donc:



cette relation prouve que l'ensemble des points M est un cercle de centre O et de rayon

il doit y avoir une erreur quelque part puisque O est pour moi le centre.... :hum:


:we:

[lapras]

Ok je comprend, tout est une histoire d'ensembles.
Dans l'énoncé tu dis que O,M et M' sont alignés, et que f(M) = M',
Soit E l'ensemble des points de la droite ne passant pas par O, soit E' lensemble des images de E par f , je résonne comme ca, il y a une infinité d'éléments dans E.
D'apres l'énoncé, O, M et M' sot alignés
Equivaut à ^OM et ^OM' colinéaires
Donc
^OM.^OM’ = OM.OM'
Equivaut à
OM’ = 2/OM
Or ^OM(x, ax+b) avec b différent de 0 (appartenant donc à IR*)et a un réel
OM² = x² + a²x² + 2axb + b² = x²(a² + 1) + b(2ax + b)
OM’² = 4/(x²(a² + 1) + b(2ax + b))

Or
^OM’(x’ ; y’)
OM’² = x’² + y’²
Donc
x’² + y'² = 4/(x²(a² + 1) + b(2ax + b))
Equivaut à :
(x'² - 0) +(y² + 0)= sqrt(4/(x²(a² + 1) + b(2ax + b)))²
donc cela prouve que le point M’, image du point M par f est l’ensemble des points situés sur un cercle de rayon 2/sqrt((x²(a² + 1) + b(2ax + b)), cependant, le cercle ne passe pas par O…. je ne comprend pas...
Je pense que j'ai du me tromper, ou alors c'était bien le point A dont tu parlais, car avec O ca ne marche pas... (enfin ca n'en a pas l'air)

Bye

[Joker62]

J'ai bien aimé la démo de l'inégalité de Cauchy-Schwarz :D
Enfin la démo, le cas particulier pour R^2 je voulais dire...

[lapras]

ce n'était qu'un cas particulier que j'ai démontré ?
au fait pour nightmare, tu m'as demandé de distinguer plusieurs cas :
vecteurs colinéaires de meme sens :
^u.^v = u.v
colinéaires de sens contraire :
^u.^v = -u.v

non colinéaires mais orthogonaux :
^u.^v = u.v.cos(pi/2) = 0

Voila les cas les plus importants

[Joker62]

Tu sais, il existe des vecteurs qui sont des fonctions continues.
Bon après ptète que toi tu connais la définition de cos(f,g) où f,g sont les fonctions continues :D

J'te met l'eau à la bouche là hein ? :)

[lapras]

J'te met l'eau à la bouche là hein ?

Ouui

je viens de regarder la définition étudiée en terminale S : c'est tres interressant. D'ailleurs es ce cos(x) est continue ? Il me semble que oui !! (enfin c'est mon instinct qui me dit ca ainsi que la définition :p )
Comment un vecteur peut il etre une fonction continue ?

[J-R]

lapras: on conclus de la meme facon c'est a dire que 0 est le centre donc a priori on a bon.

joker62: où a t-on parlé de Cauchy-Schwarz ?

a+

[lapras]

J-R : je suis soulagé.
Pour cauchy machin, nightmare me l'avait demandé à démontrer

[Joker62]

Cauchy-Schwarz c'est l'inégalité démontrée plus haut par Lapras.

Pour la fonction x -> cos(x), est-ce-que lorsque tu la traces tu lèves ton crayon ? Non, donc voilà continue :)

[lapras]

Mon instinct avait raison mdr
Bien vue le coup du crayon ^^