Exercice, sur les produits scalaires.

[Jacques]

Bonsoir, Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît pour cette exercice concernant le chapitre les produits scalaires.
On considère deux vecteurs tels que : , ║║ et ║║ .

1. a) Calculer
b) En déduire ║║ .

2.En utilisant la méthode précédente, calculer :
║║.

De mon côté, j'ai réfléchi, mais ne vois pas quelle formule, je pourrais utiliser pour trouver , vos pistes son les bienvenus.

[Lostounet]

Salut,
Le produit scalaire se développe comme on s'y attend !
(2u + 3v).(2u + 3v) = 2u.(2u) + 2u.(3v) + 3v.(2u) + 3v.(3v)

= 4u.u + 6u.v + 6v.u + 9v.v

= ....

[Jacques]

Bonsoir,
Du coup, faut réduire ensuite ?

[Lostounet]

En général, calculer signifie qu'il faut trouver un "nombre" à la fin.
Oui il faut réduire, en utilisant les propriétés de base du produit scalaire vues dans le cours et utiliser toutes les données de l'énoncé.

Essaye, tu n'as rien à perdre ! Au pire ce sera faux, et on rectifiera ce qui doit être rectifié.

[Jacques]

Pour simplifier faut utiliser ce qui nous est donné dans l'énoncé, au début ?

[Lostounet]

Pour simplifier faut utiliser ce qui nous est donné dans l'énoncé, au début ?

Comme dans tous les exercices de maths...

[Jacques]

J'ai bien envie d'appliquer la meme méthode, le seul problème étant que je n'ai pas
de coordonnées dans l'exercice.

Exemple Dans un repère othonormé, u(2;5) et v(4;-2)
Calculons : (4u-3v).(u.2v)
(4u-3v).(u.2v) = 4u² + 8u.v – 3v.u -6v²
(4u-3v).(u.2v) = 4u² + 5u.v -6v²
Or u²=29 ; v²=20 et u.v= 8-10=-2
Donc 4u² + 5u.v -6v² = 4 * 29 + 5 * (-2) -6 * 20 = -14
On obtient :
(4u-3v).(u.2v) = -14

Cependant, faut t'il appliquer la formule u.v = (1/2 ║u+v║² - ║u║² - ║v║²)

[Lostounet]

Ici tu as mieux que des coordonnées!
Tu as la valeur du produit scalaire u.v directement dans l'énoncé. Donc tu as aussi la valeur de v.u (car u.v=v.u)

Mais aussi, tu as la valeur de u^2 c'est à dire de u.u qui n'est autre que ||u||^2. Eh oui, la norme d'un vecteur u au carré, c'est u.u ! (Le produit scalaire du vecteur u avec lui-même).

Tu n'as pas besoin de la dernière formule de ton post (en fait le but de l'exo est de retrouver cette formule).

[mathelot]

Cependant, faut t'il appliquer la formule u.v = 1/2 (║u+v║² - ║u║² - ║v║²)

[Jacques]

Donc,
(2u + 3v).(2u + 3v) = 2u.(2u) + 2u.(3v) + 3v.(2u) + 3v.(3v)
= 4u.u + 6u.v + 6v.u + 9v.v
= 4u.u + 12u.v + 9v.v
=4u² + 12u.v + 9v²
Comme u² correspond à ||u||²
On a, u²=3 ; v²=2 et u.v= 4
Donc = 4u² + 12u.v + 9v² = 4 * 3 + 12 * 4 +9 * 2 = 78
On obtient :
(2u + 3v).(2u + 3v) = 78
C'est bien ça ?

Cependant, faut t'il appliquer la formule u.v = 1/2 (║u+v║² - ║u║² - ║v║²)

Merci d'avoir corrigé mon erreur.

[Lostounet]

Tu y es presque...
Mais c'est ||u|| qui est dans l'énoncé pas ||u||^2

[Jacques]

Donc,
(2u + 3v).(2u + 3v) = 2u.(2u) + 2u.(3v) + 3v.(2u) + 3v.(3v)
= 4u.u + 6u.v + 6v.u + 9v.v
= 4u.u + 12u.v + 9v.v
=4u² + 12u.v + 9v²
Comme u correspond à ||u||
On a, u²=9 ; v²=4 et u.v= 4
Donc = 4u² + 12u.v + 9v² = 4 * 9 + 12 * 4 +9 * 4 = 120
On obtient :
(2u + 3v).(2u + 3v) = 120
C'est bien ça ?

[Lostounet]

La rédaction est presque parfaite. Sauf ici:

Comme u correspond à ||u||

Ce n'est pas une bonne formulation car u comporte plus d'informations que sa longueur....

Attention, u est un vecteur et ||u|| sa norme, c'est-à-dire sa longueur. Donc u.u correspond à |u|^2 ou bien racine(u.u) correspond à |u|. Mais tu as compris l'idée essentielle!

D'ailleurs si je note w=2u+3v, tu viens de calculer en fait w.w donc la norme au carré de w, c'est à dire ||w||^2 qui est ||2u+3v||^2

[Jacques]

Mais du coup, pour en déduire ||2u+3v||^2, faut justifier en disant :
Supposons, w=2u+3v, donc, w.w donc la norme au carré de w, c'est à dire ||w||^2 est alors ||2u+3v||^2

[Lostounet]

Mais du coup, pour en déduire ||2u+3v||^2, faut justifier en disant :
Supposons, w=2u+3v, donc, w.w donc la norme au carré de w, c'est à dire ||w||^2 est alors ||2u+3v||^2

Oui... mais que vaut ||w||^2 ? D'après ton calcul...?

[Jacques]

||w||^2 est égale à 120
non ?

[Lostounet]

||w||^2 est égale à 120
non ?

Oui..!

[Jacques]

Donc pour répondre à la question b)
Faut justifier en disant :
Supposons, w=2u+3v, donc, w.w donc la norme au carré de w, c'est à dire ||w||^2 =120 est alors ||2u+3v||^2
Ainsi le nombre 120, c'est quoi son utilité dans la justification ?

[Lostounet]

Que demande la question b)?
Elle demande de déduire la valeur de la longueur |2u+3v|...

Tu me dis que |2u+3v|^2 = 120. Mais l'énoncé te demande plutôt |2u+3v| et pas |2u+3v|^2...

C'est ici qu'intervient le 120. Je m'inquiète un peu quand tu me poses cette question, es-tu sûr de tout comprendre

[Jacques]

J'ai pas vraiment bien compris comment faire pour en déduire ||2u+3v||.