Voila j'ai quelques problèmes avec mon exo de mon DM de mathématique .. (-_-')
Enoncé :
Exemple d'encadrement d'une fonction .
Soit f la fonction définie sur [0; Pi/2] par f(x) = cos x - 1 + x²/2 - x^4/24.
1° Déterminer les dérivées f', f'', f''' de f, définie sur [0; Pi/2].
2° On admet que, pour tout nombre reel x de ]0; Pi/2], sin x < x.
a) Dresser le tableau de variation de la fonction f''.
b) En déduire le signe de f''(x) sur [0; Pi/2], puis les tableaux de variations de f' & f.
c) En déduire que pour tout nombre réel x de [0; Pi/2], les encadrements : x - x^3/6 =< sin x =< x (Inférieur ou égal);
1 - x²/2 =< cos x =< 1 - x²/2 + x^4/24
Et 0 =< cos x - (1 - x²/2) =< x^4/24.
3° Utiliser ce qui précède pour déterminer un nombre réel alpha tel que, pour tout nombre réel x, x =< alpha , implique cos x - 1(1-x^/2) =< 0.01
Réponses trouvés : (Modifiés)
Question 1 :
f'(x) = -sin + 2x - 4x^3
f''(x) = -cos + 2 - 12x²
f'''(x) = + sin - 24x
Problème pour la question 2 : Lorsque l'on effectue un tableau de variation avec des polynomes, nous devons calculer le delta, puis calculer le zéro de la dérivée et effectuer son signe avant de dresser le tableau . Mais lorsque l'on a un -cos x, comment fait-on ?
Voila, merci d'avoir une réponse dans de bref délais .. !
Bon week end
