Dérivabilité et continuité ES

[gtasa]

PARTIE 1 : "fonction carrée de référence"

J'ai besoin d'un coup de pouce pour mener à bien cte question

Enoncé :

1. Tracer la courbe de la fonction f "fonction carrée de référence"
2. f est-elle continue en zéro ?
3. Dériver f et tracer la courbe de f'
4. Comment note t'on le nombre dérivé de f en zéro ?
Que vaut-il ?
Interpréter graphiquemment le résultat.

Ce que j'ai réalisé

1. J'ai tracer la courbe : c'est une parabole tourné vers le bas.
2. Je n'ai compri cette question; est-ce à partir de zéro ?
3. f'=2x
4. Le nombre dérivée de f en 0 est le coefficient directeur de la tangente qu'admet la fonction f donc c'est f'(o).
La fonction f n'admet pas de tangente. Comment répondre à la question ?

Merci

[Anonyme]

La fonction carrée de reference ... il s'agit de f(x)=x² je suppose

en effet il s' agit d une parabole.
La notion de continuité n est pas evidente a ton niveau:
" est ce que la fonction peut se tracer sans lever le crayon de la feuille? ( ou encore le tracet a t il un point de discontinuité )", qui plus est en 0, il s agit de voir si il y a une rupture dans le tracet de la courbe aux environs de 0. Ce n est pas le cas, c est bien continue
si tu as defini les notions de limites, tu peux dire que la limite de ta fonction f(x) vaut f(0) quand x tend vers 0 ( c est logique, ms c parce que c continue en 0 ).

sinon ta courbe admet bien une tangente en 0, il s agit d une droite horizontale qui passe par le seul point f(0)
je noterai la derivée de f en 0 comme suit f '(0) a savoir la valeur de 2x en 0 c.a.d 0 (puisque f ' (x) = 2x)
( attention d ailleurs f ' = 2x est faux du point de vu de la syntaxe)

[sergiodeburgos]

Attention c'est une parabole tournée vers le haut f(x) = x^2.

f est continue en 0, suivant ton niveau, il y a plusieurs justifications. (produit de deux fonctions continues, par exemple)

f'(x)=2x.

En zéro, f'(0)=0, c'est le coefficient directeur de la tangente.
Donc la tangente a pour équation y=0x +b soit y= b
Or elle passe par le point (0,0) donc b=0 et la tangente est donc
y=0, qui est la droite d'abscisse.

[gtasa]

PARTIE 2 : "fonction valeur absolue"

Voici la courbe de la fonction g définie sur R par :
-si x est + ou nul : g(x)=x
-si x est - ou nul : g(x)=-x

Cette fonction s'appelle "la fonction valeur absolue".
Et l'on note pour tout x réel, g(x)=/x/

1. Au vu du graphique (il ressemble à un V), g est-elle continue en zéro ?

2. Dans cette question on veut étudier la dérivabilité de g en zéro en appliquant la définition.
Il s'agit donc de voir si:

Z: lim(qd x td vers 0) g(x)-g(0)
--------- existe et si lim est finie.
x-0

a) Vérifier que g(x)-g(o)/x-0 = /x/ / x

b) Calculer la limite de /x/ / x qd x tend vers 0 à droite.
c) Calculer la limite de /x/ / x qd x tend vers 0 à gauche.

d) Que peut t'on dire de lim Z ? Justifier
e) g est t'elle dérivable en zéro ? Justifier
f) L'axe des abscisses est-il dit tangent en 0 à la courbe de g ? Justifier
g) Définir la fonction dérivée de g en précisant son ensmble de def. et tracer la courbe de g'.

Ce que j'ai réaliser
1) g est bien continue car on peut la tracer sans lever le crayon.

2) e) Non elle n'est pas dérivalbe malgré qu'elle soit continue car la réciprocité du théorème "Toute fonction dérivable sur I est continue sur I" est fausse.
Merci

[gtasa]

PARTIE 3 : Lien entre dérivabilité et continuité

En Term ES on demande d'admettre le théorème :
"Si f est une fonction dérivable en a, alors f est continue en a"

La réciproque est elle vraie ?
Jusitifer avec les parties 1 et 2 !

La réciprocité est fausse car une fonction peut etre continue en un point mais non dérivable (ex : f(x)=/x/ en 0)

[Anonyme]

"g est bien continue car on peut la tracer sans lever le crayon." il s agit la d une explication intuitive, mais il ne faut pas marquer cela sur ta feuille, tu vas rendre ton/ta prof fou!
je ne sais malheureusement pas quel outils vous avez defini en Ts pour la continuité.

a) g(x)=|x| et g(0)=0, d ou g(x)-g(0)=|x| en divisant par x on a le resultat
b) qd x tend vers 0 a droite, =1
car si x est a droite de 0 il est positif, d ou |x|=x, ainsi |x|/x=x/x=1 meme qd x tend vers 0 a droite
c) en raisonnant de la meme maniere, si x est a gauche de 0 il est negatif, d ou |x|=-x, ... tu obtiends =-1

d) tu constates donc que lim Z a deux valeurs selon que x est tt petit inferieur a 0 ( cad a gauche) ou tt petit superieur ( cad a droite )

e) pour que ce soit derivable, il faut que lim z soit egale a une valeur finie, ici on en a 2!ce n est pas possible donc ce n est pas derivable. es tu que ta reciproque est fausse ( ou vraie )?

f) non biensur pas de derivé pas de coefficient directeur a la tengante, pas de tengante

g) etudie le cas ou x est neg, et ou x est positif, c a d si x neg tu remplaces |x| par -x dans ta formule de derivation