Lien entre dérivabilité et continuité.

[AlphaNell]

Bonjour,
J'ai plusieurs questions au sujet d'un theoreme qui concerne les derivées, celui qui démontre qu'il existe un lien entre la dérivabilité et la continuité (comme l'indique le titre xD).

Enoncé: Si f est dérivable en x=a, alors f est continue en x=a.

Jusqu'à la c'est clair, le fait que f soit dérivable en x=a est l'hypothèse. Ensuite y a la démo:

Démonstration: On veut démontrer que:

lim f(x) = f(a)
x;)a

Pour x;)a on peut écrire:

f(x) = [f(x)-f(a)/(x-a)]*(x-a) + f(a)

Et ensuite on passe la limite au tout, puis on passe la limite a chaque element (grace aux propriétés des limites) et on aboutit à:

f'(a) x 0 + f(a) = f(a)

Donc f est bien continu en x=a.

Mais je ne comprend pas pourquoi on cherche au tout début à ce que x;)a et comment ce fait-il que l'on rajoute (x-a) + f(a) ? Je ne comprend pas la logique, je ne sais pas si ma question est assez clair.. haha

Et à part cela, je ne comprend pas bien la définition de la derivée:

Enoncé: Soit f une fonction dérivable en chaque point de l'intervalle ]a;b[. On appelle fonction derivée la fonction définie par:

]a;b[ ;) R (réel)

x ;);) f'(x)

a.) Pourquoi est-ce que l'intervalle ]a;b[ est ouvert? Pourquoi pas [a;b] ?
b.) Que signifie la flèche avec un trait horizontal au bout, dans la formule?

[Nightmare]

Salut,

Le but est de lié la fonction f avec son taux d'accroissement en a, ce qui n'est pas inintéressant puisque la seule chose qu'on sait de f est qu'elle est dérivable en a, donc que son taux d'accroissement a une limite finie en ce point.

Si on suppose x différent de a, c'est pour pouvoir légitimement diviser par (x-a) (pour faire apparaitre le taux d'accroissement).

[benekire2]

Pour ta deuxime question, si on utilise un interval ouvert c'est simplement parce que on a la flemme de préciser la dérivabilité sur les bornes ...

La flèche, c'est une fonction, qui a x associe f'(x)

[Nightmare]

Pour ta deuxime question, si on utilise un interval ouvert c'est simplement parce que on a la flemme de préciser la dérivabilité sur les bornes ... )

En fait pas vraiment, dans un cadre plus général, on parle de différentiabilité sur un ouvert, pour la raison qu'on a besoin de considérer des voisinages de chaque point. Sur R, on parle donc de dérivabilité sur un ouvert, mais on peut abusivement parler de dérivabilité en des bornes d'un intervalle fermé, en disant qu'une fonction définie sur [a,b] est dérivable en a (resp. en b) si elle est dérivable à droite (resp. a gauche) en a (resp. en b).

[benekire2]

En fait pas vraiment, dans un cadre plus général, on parle de différentiabilité sur un ouvert, pour la raison qu'on a besoin de considérer des voisinages de chaque point. Sur R, on parle donc de dérivabilité sur un ouvert, mais on peut abusivement parler de dérivabilité en des bornes d'un intervalle fermé, en disant qu'une fonction définie sur [a,b] est dérivable en a (resp. en b) si elle est dérivable à droite (resp. a gauche) en a (resp. en b).

Oui, mais j'entend par là, que c'est long a écrire f est dérivable en a a droite et ne l'est pas a gauche en b ...

Et pour le théorème on peut pas dire qu'on en a réellement besoin ( du moins c'est ce que je crois )

[Nightmare]

Théorème? Quel théorème?

[benekire2]

Théorème? Quel théorème?

A non, désolé pas de théorème. J'ai beugé.
Mais en général les théorèmes liés à la dérivation sont énoncés sur des ouverts car on a pas besoin de ce soucié des bornes.

Bref ...

[AlphaNell]

Haha merci énormément pour vos réponses en tout cas, c'est top. :-)