Dérivée

[Katagen@]

Bonsoir à tous,

J'aurai besoin d'un petit coup de pouce pour cet exercice :


f est une fonction définie par f(x) = x³

1° donner l'approximation affine locale de f(1+h).

la je dirais : on sait que si f(x) = x³ alors f'(x) = 3x² f est derivable sur R donc f est derivable en 1 et f'(1) = 3
De plus f(1) = 1
La meilleure approximation affine de f(1+h) est f(1)+hf'(1)
f(1+h) = 1 + h * 3 * 1²
f(1+h) = 1+3h

2° démontrer que si |h|;) 10^-1 alors : 0 [f(1+h)-(1+3h)] 4 x 10^-2
en déduire une valeur approchée de (1,01)³ en donnant la précision.

Je ne vois pas comment démontrer, cependant je pense que 1,01³ = (1+0.01)³ et (1+0.01)³ 1+3x0.01
soit (1.01)³ = 1.03

3° dans quelle intervalle suffit-il de situer h pour que 1+3h soit une approximation de (1+h)³ à 10^-6 près par défaut?

4° Que pensez vous de la validité de l'affirmation suivante : "Augmentez un prix de 2% trois fois de suite c'est presque l'augmenter de 6%"?

Voila pour le reste j'ai du mal! Merci

[hellow3]

Salut.

2.
f(1+h)=(1+h)^3
donc:
[f(1+h)-(1+3h)] = ...

[Katagen@]

pourquoi f(1+h)=(1+h)^3 ?
on sait juste que f(1+h)=(1+3h) ... non? :hein:

[hellow3]

Je crois que:

Bonsoir à tous,

J'aurai besoin d'un petit coup de pouce pour cet exercice :


f est une fonction définie par f(x) = x³

1° donner l'approximation affine locale de f(1+h).

la je dirais : on sait que si f(x) = x³ alors f'(x) = 3x² f est derivable sur R donc f est derivable en 1 et f'(1) = 3
De plus f(1) = 1
La meilleure approximation affine de f(1+h) est f(1)+hf'(1)
f(1+h) = 1 + h * 3 * 1²
f(1+h) = 1+3h

2° démontrer que si |h|;) 10^-1 alors : 0 [f(1+h)-(1+3h)] 4 x 10^-2
en déduire une valeur approchée de (1,01)³ en donnant la précision.

Je ne vois pas comment démontrer, cependant je pense que 1,01³ = (1+0.01)³ et (1+0.01)³ 1+3x0.01
soit (1.01)³ = 1.03

3° dans quelle intervalle suffit-il de situer h pour que 1+3h soit une approximation de (1+h)³ à 10^-6 près par défaut?

4° Que pensez vous de la validité de l'affirmation suivante : "Augmentez un prix de 2% trois fois de suite c'est presque l'augmenter de 6%"?

Voila pour le reste j'ai du mal! Merci

non?

[Katagen@]

effectivement, mais je suis perdu, cela voudrait dire que 1+3h = (1+h)^3 ?

[hellow3]

1+3h est l'approximation locale de la fonction f(x) au point d'abscisse 1.
donc quand h est proche de 0,

[Katagen@]

daccord, donc [f(1+h)-(1+3h)] = 0 ?

[hellow3]

Non!
C'est une approximation.

f(1+h)-(1+3h)=(1+h)^3 -(1+3h)
=(h^3+3h²+3h+1) -(1+3h)
=... Continue et tu auras la valeur de ton approximation .

[Katagen@]

(h^3+3h²+3h+1) -(1+3h) = h^3 + 3h²..

[hellow3]

C'est ça.

Tu vois donc que plus h est petit plus l'approximation est bonne.

[Katagen@]

oui daccord merci bcp, sinon j'ai réussi pour la question 4) mais la 3) je n'y arrive pas si tu pouvais m'aider à finir sa serait super!!

[hellow3]

Salut.

Ton approximation est par defaut (c'est le contraire de par excès si je me trompes pas, donc l'approximation est inferieur a la fonction). Donc
0 ;) [f(1+h)-(1+3h)]

On te demande une approximation qui suffise pour que [f(1+h)-(1+3h)] ;) 10^-6
Donc pas le meilleur encadrement.

tu sais que f(1+h)-(1+3h)] = h^3 + 3h²
h^3+3h² ;) 10^-6
Je sais pas trop comment tu as l'habitude de faire ce genre d'exercice. On te demande de trouver un encadrement de h qui suffise pour que l'approximation vérifie les conditions précédentes.
Moi je les resoud en prenant par exemple,
0 ;) h ;) 10^-4
alors
0 ;) h^3 ;) 10^-12
0 ;) 3h² ;) 3.10^-8

0 ;) h^3+3h² ;) 2.10^-7 ;) 10^-6

[Katagen@]

C'est bon j'ai terminé grâce à toi, merci beaucoup pour ton aide, bonne soirée!

[hellow3]

Bonne soirée aussi.