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[baytar]

Exercice 1:

Formes cubiques à deux variables. Soit f : R^3 ---> R une forme cubique, c'est à dire un polynôme homogène f(x, y)=ax^3+3bx^2y+3cxy^2+dy^3 de degré 3.

a) Montrer que, si f est non nulle, elle s'écrit :

-soit comme le produit de trois formes linéaires sur R^2, uniques à multiplication par une constante non nulle près,
- soit comme le produit µ*Q d'une forme linéaire et d'une forme quadratique définie positive sur R^2, uniques à multiplication par une constante non nulle près.

b) On dit que f est non dégénérée si l'on est dans le second cas, ou dans le premier avec µ et Q linéairement indépendantes. Montrer qu'il existe alors un automorphisme A de R^2 tel que f o A(x, y) =x(x^2 + ou - y^2) + dans le second cas, et - dans le premier.

c) On suppose donc que f(x, y)=x(x^2+ou-y^2). Calculer la dérivée en I de l'application h qui à toute A de gl(R) associe la forme cubique f o A. En déduire que h. est un difféomorphisme local en I. Interprétation ??

d) Que deviennent ces résultats si l'on remplace R par C ??

e) Montrer qu'il n'y a aucun espoir de généralisation aux formes cubiques en dimension supérieure [comparer les dimensions des espaces considérés dans (c)].
:triste: :cry:

[Dominique Lefebvre]

Bonjour,

Je t'invite d'urgence à aller lire le réglement du forum. Je te rappelle que nous ne sommes pas ici pour faire ton boulout mais pour t'aider.
En conséquence, je ferme cette discussion. Je t'invite à reposter en tenant compte de mes remarques et en nous exposant ce que tu as fait sur cet exo.

Pour la modération.