Dérivée

[col]

Bonsoir, est ce que quelqu'un peut m'aider?

V est une fonction dérivable sur ]-infini;+infini[ telle que: v(0)=0

et v'(x)=1/1+x²

1)a) Soit u la fonction tangente.
Démonter que pour tout x de ]-pi/2;pi/2[ on a:

v'(u(x))=1/1+tan²x

b) En déduire la dérivée de v°u.

c) Déterminer (v°u)(0)

d) En déduire que pour tout x de ]-pi/2;pi/2[ on a (v°u)=x

2) En déduire v(1)


merci pour votre aide

[Chimerade]

Bonsoir, est ce que quelqu'un peut m'aider?

V est une fonction dérivable sur ]-infini;+infini[ telle que: v(0)=0

et v'(x)=1/1+x²

1)a) Soit u la fonction tangente.
Démonter que pour tout x de ]-pi/2;pi/2[ on a:

v'(u(x))=1/1+tan²x

b) En déduire la dérivée de v°u.

c) Déterminer (v°u)(0)

d) En déduire que pour tout x de ]-pi/2;pi/2[ on a (v°u)=x

2) En déduire v(1)


merci pour votre aide

Merci de nous dire :

1 - Quel est ton niveau ?

2 - Où es-tu bloqué

[col]

Bonjour, mon niveau est terminale S.

Merci de m'aider, je suis bloqué dés le départ

[Chimerade]

Bonsoir, est ce que quelqu'un peut m'aider?

V est une fonction dérivable sur ]-infini;+infini[ telle que: v(0)=0

et v'(x)=1/1+x²

1)a) Soit u la fonction tangente.
Démonter que pour tout x de ]-pi/2;pi/2[ on a:

v'(u(x))=1/1+tan²x

b) En déduire la dérivée de v°u.

c) Déterminer (v°u)(0)

d) En déduire que pour tout x de ]-pi/2;pi/2[ on a (v°u)=x

2) En déduire v(1)


merci pour votre aide

Lorsque l'on écrit v'(u(x)) il ne s'agit pas de dériver la fonction g(x)=v(u(x)) - ça n'a rien à voir. Souvent, la difficulté vient de cette incomprehension. v' est une fonction à part entière, avec les mêmes droits et les mêmes devoirs que toutes les fonctions !

Donc si l'on dit que v'(x)=1/(1+x²) et que u(x)=tan(x), alors, v'(u(x))=1/(1+tan²(x)), tout simplement ; il s'agit de la définition. Il n'y a qu'à vérifier que tan(x) est bien défini pour l'intervalle spécifé (]-pi/2,+pi/2[) ce qui est le cas, et que les valeurs possibles de tan(x) pour l'intervalle spécifié font partie de l'ensemble de définition de v'. Or tan(x) varie de -l'infini à + l'infini lorsque x décrit l'intervalle ]-pi/2,+pi/2[, et le domaine de définition de v' est précisément l'intervalle -l'infini à + l'infini.
Donc pour ]-pi/2,+pi/2[ v'(tan(x)) est défini et vaut 1/(1+tan²(x))

Bon ! Ca c'était le a) ! A toi de faire le b) !

[col]

J'ai maintenant compris la question a) pouvez vous m'aider pour la suite?

Merci d'avance

[Chimerade]

b) En déduire la dérivée de v°u.

Cours-dérivée d'une fonction composée : [v°u(x)]' = v'(u(x)) * u'(x)
v'(u(x))=1/(1+tan²(x))
u'(x)=1+tan²(x) (cours)

[v°u(x)]' = v'(u(x)) * u'(x) = 1/(1+tan²(x)) * (1+tan²(x) = 1

c) Déterminer (v°u)(0)

v°u (0) = v[u(0)] = v[0] = 0

d) En déduire que pour tout x de ]-pi/2;pi/2[ on a (v°u)=x

Puisque la dérivée de v°u est 1 sur l'intervalle ]-pi/2;pi/2[, la fonction est de la forme v°u(x)=K+x sur l'intervalle ]-pi/2;pi/2[, K étant une constante qui reste à déterminer. Or on sait maintenant que v°u(0)=0. Il en résulte que v°u(0)=K+0=0 et donc que K=0.
Finalement v°u(x)=x

2) En déduire v(1)

v°u(x)=x pour tout x ! Pour quelle valeur de x, u(x) est-il égal à 1 ?

tan(x)=1 : x = pi/4, seule solution dans l'intervalle !

Donc v°u(pi/4)=v(1)=pi/4