DM arithmétique

[kinou56]

Bonjour, je bloque sur cet exo de mon DM à partir de la question 3.
Pouvez-vous m'aider svp ?

ex: Le but de l'exercice est de déterminer l'ensemble E des triplets (x,y,z) qui appartiennent à N*^3 tels que x² + y² = z².

1) Montrer que pour tout couple (a,b) d'entiers naturels non nuls tels que a > b, le triplet (a²-b², 2ab, a² + b²) appartient à l'ensemble E. Donner six solutions distinctes.

2) Montrer que pour tout t appartient Z , t²congru0 ou 1 mod 4 suivant que t est pair ou impair.

3) Soit (x,y,z) un élément de E tel que pgcd(x,y) = 1.
a) Montrer qu'alors pgcd (x,z) = 1 et pgcd(y,z) = 1.
b) Montrer que x et y ne sont pas de même parité.
c) On suppose par exemple que x est impair et y pair. Montrer qu'il existe deux entiers naturels non nuls p et q, premiers entre eux, tels que :
x = p-q, z = p+q, y² = 4pq
Montrer que p et q sont des carrés parfaits.

4) En déduire l'ensemble E. Donner tous les triplets (x,y,z) de E avec z inférieur ou égal à 18.

Merci à tous ceux qui pourront m'aider.

[kinou56]

je n'arrive vraiment pas à la question 3. :help:
Je ne sais pas comment m'y prendre.

a) Je sais juste que donc x,y,z appartiennent à E et que x et y sont premiers car pgcd(x,y)=1. mais comment montrer que pgcd(x,z)=1 et pgcd(x,y)=1 ?

svp j'ai vraiment besoin d'aide pour finir cet exo de mon DM

merci :briques:

[klevia]

Por la question ,
suppose k diviseur de x et z différent de 1
t'écris que y²=z²-x²
et tu arrives à prouver que ke est un diviseur de y d'ou pgcd(x,y)=k
ce qui une contradiction

[kinou56]

merci beaucoup rain et klevia.
J'ai compris sauf pour montrer que pgcd(x,y) = 1 car j'ai essayé en reprenant ta méthode mais je coince à un moment.

pgcd(x,y) = 1 => pgcd(x²,y²) = 1 <=> il existe (u,v) tel que x²u+y²v= 1 par bézout.
Or x²+y²=z² => v(x²+y²)=vz² => il faudrait remplacer vx² mais comment vu que l'on a que ux² ??


encore merci pour votre aide

[kinou56]

personne pour m'aider à finir mon exo ?

[kinou56]

pour la 3)c) j'ai fait :

On pose : p = a² et q = b²

donc x = a² - b² = p - q
y = a² + b² = p + q
z = (p - q)² + (p + q)² = 4pq

est-ce correct ??

Merci