Arithmétique de Z/nZ

par **Seomaz** » 10 Jan 2007, 18:06

bonjour et bonne année :we:

je seche sur:
montrer que pour a appartenant à Z, on a les equivalences :

_
a appartient (Z/nZ)* <=> il existe ( x,y) appartenant à Z^2 tq x*a+y*n = 1
----------------------------- <=> pgcd(a,n)=1

merci d'avance

par **fahr451** » 10 Jan 2007, 18:08

la première équivalence n 'existe pas
l 'équivalence demandée porte sur a finalement et non sur classe de a
ne serait ce pas tout simplement la relation de Bezout?

par **fahr451** » 10 Jan 2007, 18:12

si classe de a notée A est inversible il existe X dans Z/nZ tel que

AX = 1 donc en prenant x un représentant de X on a :
ax = 1 (mod n)[lire congru] id est il existe y tel que ax+ny = 1
réciproquement s 'il existe x ,y tels que

ax+ny = 1 alors en passant aux classes AX = 1 ce qui signifie que A est inversible d 'inverse X

la dernière équivalence n'est que Bezout.

par **yos** » 10 Jan 2007, 18:12

par **yos** » 10 Jan 2007, 18:13

Bon, fahr 451 m'a grillé de quelques secondes. C'est le latex qui m'a perdu.

par **Seomaz** » 10 Jan 2007, 18:38

merci beaucoup, effectivement vu comme ça ça parait facile... :happy2:
cependant ce n'est pas fini (hé oui il y a des jours ou on ariva à rien...enfin surtout moi :happy2: )

il s'agit maintenant de démontrer que nous avons l'isomorpisme de groupes suivant:

(Z/nZ)* = (Z/aZ)* x (Z/bZ) x ... x (Z/iZ)

avec a,b,...,i éléments de la décomposition en facteurs premiers de n

encore une fois merci d'avance

:we:

par **yos** » 10 Jan 2007, 18:43

Etre étranger à n équivaut à être étranger à chaque facteur de n.

par **fahr451** » 10 Jan 2007, 18:47

notons n = p1^(a1) ...pr^(ar) la décomposition de n

pour x ds Z la classe de x est inversible ds Z/nZ ssi x premier avec n donc ssi x premier avec chaque pi^ai donc ssi la classe de x ds chaque Z/pi^ai est inversible

l'isomorphisme est
(Z/nZ)* -> produit des (Z/pi^aiZ)*
X de représentant x -> (le r uplet formé des classes de x )

y a juste à véifier que l'application ne dépend pas du choix du représentant x

par **mathelot** » 10 Jan 2007, 21:28

Seomaz a écrit:il s'agit maintenant de démontrer que nous avons l'isomorpisme de groupes suivant:

(Z/nZ)* = (Z/aZ)* x (Z/bZ) x ... x (Z/iZ)

un peu d'heuristique: de la même manière qu'un vecteur se décompose en k coordonnées après le choix d'une base

une congruence d'un entier N modulo n se décompose en k congruences
modulo des entiers

si n est le produit de k entiers premiers deux à deux. C'est le théorème chinois.

Arithmétique de Z/nZ

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