Polynome

[benoist--77]

soit Un=X^n(X-1)^n/n! et Pn= deriveé n eme de Un
1)pout tout k de {1,...,n} montrer qu'il existe un unique polynome L_k tel
deg(Lk)<=n-1 Lk(Xk)=1 et pour toutj appartenant à {1,...,n}/{k},Lk(Xj)=0
on donnera l expression factoriseé du polynome Lk
2)Montrer que pour tout P de R_n-1[X], on a P=sum(P(Xk)*Lk,k=1..n)
3)pour tout k de {1...n on pose lk=int(Lk(t)dt de 0 a 1)
P est un element de R_2n-1[X] on sair que l on a l egalite int(P(t)dt de 0 a 1) =sum(lk*P(xk),k=1..n)
prouver que pour tout j de {1...n} lj>0 en posant P=Lj^2
j arrive a faire ces 3 questions mais je bloque sur celle ci


on reprend les notations de la question precedente
on considere l approximation int(f(t)dt, de0 à1)=sum(lkf(Xk,k=1..n) ou f:[0,1]-> R est continue
on sait que l approximation est en fait une egalite si f est un polynome de degres<=2n-1
on cherche a etudier la qualite de cette approximation quand f est de classe C2n
4) montrerqu il existe un unique P appartenant a R_2n-1[X] tel ke pour tout k appartenant a {1.....n} P(Xk)=f(Xk) et P'(Xk)=f'(Xk)

je sais ke je dois poser P=QPn+R avec Q,R dans Rn-1[X] et utiliser la question2 mais je n y arrive pas
merci d avance

je ne vois pas comment Montrer que les conditions P(xk)=f(xk) déterminent R de façon unique.
Montrer ensuite que les conditions P'(xk)=f'(xk) déterminent Q de façon
unique (rappel Pn'(xk) est non nul).

merci d avance

[tize]

ça veut dire quoi Xk ?

[benoist--77]

X indice k sont les n racine du polynome n
je suis sur qu il faut utiliser la question 2 pour Q et R ms je n y arrive pas