Equation différentielle

[mimi3852]

Bonjour, j'ai besoin de votre aide car je suis coincé à un exercice :
Voici le sujet : On considère sur R, l'équation différentielle d'inconnue y définie par (E) : y''+2y'+y = 0

La question est : Monter qu'il existe un réel a tel que y est solution de l'équation différentielle
(Ea) : y'+y = ae^(-x).

[mathelot]

bonsoir,
1ère solution (bovine) : écrire l'équation caractéristique
Le cours indique alors les solutions.
Avec ces solutions , on vérifie qu'il existe a réel tel que


2ème solution (bien meilleure)
faire un changement d'inconnue en posant z=y'+y.
Ecrire l'équation différentielle vérifiée par z (on pourra dériver z)
en déduire le résultat en résolvant cette dernière équation.

[mimi3852]

J'obtiens y(x) = P(x)*e^(-x) avec P(x) = (mx+p) Donc y'(x) = e^(-x)(-mx-m+p)
(Ea) = y' + y = a*e^(-x) <==> e^(-x)(-mx+m-p) + e^(-x)(mx+p) = a*e^(-x) <==> e^(-x)(-mx+mx+m-p+p) = a*e^(-x)
Finalement on a : m*e^(-x) = a*e^(-x).
C'est donc une formule générale ?

[mathelot]

J'obtiens y(x) = P(x)*e^(-x) avec P(x) = (mx+p) Donc y'(x) = e^(-x)(-mx-m+p) il y a une erreur de signe
(Ea) = y' + y = a*e^(-x) <==> e^(-x)(-mx+m-p) + e^(-x)(mx+p) = a*e^(-x) <==> e^(-x)(-mx+mx+m-p+p) = a*e^(-x)
Finalement on a :
C'est donc une formule générale ?

sinon ça va.

une méthode plus mathématique:
on pose z=y+y'
z vérifie l'équation:


on résout z'+z=0 , ce qui donne

[mimi3852]

Et est-ce que c'est une solution générale ? Car si on résout pour connaître les solutions de y' + y = 0 on obtient quoi ?

[mathelot]

y est solution de l'équation y"+2y'+y=0

le cours dit que la solution générale est
on fait un changement d'inconnue en posant comme nouvelle fonction
z=y'+y

on dérive
z'=y"+y'

on en tire
z'+z=0

de solution générale
avec

soit

[mathelot]

Et est-ce que c'est une solution générale ? Car si on résout pour connaître les solutions de y' + y = 0 on obtient quoi ?

je n'ai pas compris la question

[mimi3852]

La solution générale est a*e^(-x) ou a*x*e^(-x) ?

[mimi3852]

Donc y(x) = lambda de e^(-x) + a*e^(-x) ou y(x) = lambda de e^(-x) + a*x*e^(-x) ?