Equation différentielle

[Nadraffe]

Bonjour, je bloque sur cet exercice voici l'énoncé :

En 1980, 10 000 ménages vivant en France étaient équipés d'un ordinateur. On note f(t) le nombre de ces ménages, en million et t années après 1980 (t\geq 0).
Le modèle de Verhulst estime que sur la période 1980-2020, f est solution sur [0;40] de l'équation différentielle (E1) : y' = 0.022y * (20-y).

Q1) On pose : u=1/f. Démontrer que f est solution de (E1) si, et seulement si, u est solution sur [0;40] de l'équation différentielle (E2) : y' = -0.44y + 0.022.

Je n'ai pas compris cette question. J'ai fait ceci : y' = 0.44y - 0.022y².
Est-ce qu'il faut remplacer le y' de (E1) et faire une égalité avec y' ?

Q1b) Déterminer l'ensemble des solutions de (E2)

Q1c) En déduire l'ensemble des solutions de (E1).

Q1d) Démonter alors que la fonction f est définie sur l'intervalle [0;40] par f(t) = 20 / 1+1999*e^(-0.44t).

Merci d'avance pour votre aide !!

[Nadraffe]

Up, quelqu'un svp ?

[pascal16]

sans considération des pôles possibles
u=1/f soit f=1/u donc f'=-u'/u²
et on remplace dans l'équation avec f.

[Nadraffe]

Quand je dérive je trouve 1/u², pourquoi il y a le " -u' "?

[Sa Majesté]

u est une fonction

La dérivée de est

[Nadraffe]

Pourtant quand je dérive il y a :

u(x) = 1 --> u'(x) = 0
v(x) = u ----> v'(x) = 1

f'(x) = (u'v-uv')/v² = (0*u - 1*1)/u² = -1/u²

[Sa Majesté]

v(x) = u ----> v'(x) = 1

Non
v'(x)=u'(x)

[Nadraffe]

Ah d'accord merci !

[Nadraffe]

Comment fait on pour résoudre, j'ai remplacé y(x)=f(x)=1/u et y'(x)=f'(x)=-u'/u² dans l'équation (E2) mais une fois que j'ai (-u')/u² = -0.44/u+0.022 que fait-on ?

[Sa Majesté]

une fois que j'ai (-u')/u² = -0.44/u+0.022 que fait-on ?

On refait son calcul car c'est faux

[Nadraffe]

Et donc je fais quoi ? Ca ne m'aide pas vraiment...

[Nadraffe]

Quelqu'un svp ?

[Black Jack]

Comment fait on pour résoudre, j'ai remplacé y(x)=f(x)=1/u et y'(x)=f'(x)=-u'/u² dans l'équation (E2) mais une fois que j'ai (-u')/u² = -0.44/u+0.022 que fait-on ?

On corrige l'erreur ...

y' = 0,022y * (20 - y) (E1)

Poser f = 1/u
f' = -u'/u²

Si f est solution de E1, alors : -u'/u² = 0,022/u * (20 - 1/u)
-u'/u² = -0,44/u + 0,022/u²

u' = ...

[Nadraffe]

Ah mais d'accord il faut remplacer dans (E1)

[Nadraffe]

u' = (-720u + 11)/500u²

[Nadraffe]

?

[hdci]

Hum, voyons...

-u'/u² = -0,44/u + 0,022/u²

Donc en l'écrivant avec de vraies fractions (un peu plus lisible), cela fait



Vous utilisez ce que vous souffle Back Jack et vous obtenez

u' = (-720u + 11)/500u²

C'est-à-dire :



Là, je n'ai pas bien compris ce que vous avez fait...?

[Nadraffe]

Moi non plus , en faite je n'arrive pas à faire le calcul en détail, étape par étape.

[hdci]

Vous faites des équations différentielles, vous êtes donc en terminale spécialité maths ?

... Et vous n'arrivez pas à faire une manipulation d'expressions algébriques de niveau collège / seconde ? Il faut vite corriger cela et vous entraîner à en faire.

Oubliez ici la notion de fonction et de dérivée, et simplifier cette expression pour trouver :



La méthode :

• dans une égalité, vous pouvez ajouter / soustraire la même chose à chaque membre et cela conserve l'égalité. Comme dans une balance à plateaux : si c'st équilibré, si j'ajoute 1 kg d'un côté de la balance, il faut que j'ajoute 1kg de l'autre côté pour conserver l'équilibre.
• De même, vous pouvez multiplier / diviser (sauf par zéro dans ce cas) par la même chose de chaque côté (c-à-d, avec la balance, si vous doublez la quantité d'un côté, vous devez doubler de l'autre côté aussi pour que cela reste équilibré)

Ici vous avez une "division par " dans le membre de gauche : que faut-il faire pour faire "disparaître" cette division ? Et si on le fait, que faut-il faire dans l'autre membre pour conserver l'égalité ?

[Nadraffe]

Oui je suis en spé maths.
Je fais : A²/B = 1/B + 1/B*B donc je peux avoir A² = 1/B + 1/B soit A² = 1/B